Номер 4.27, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.27, страница 34.

4.27. Вычислите значение выражения:

1) $\frac{\log_7 27 - 2\log_7 3}{\log_7 45 + \log_7 0,2}$,

2) $\frac{\log_9 125 + 3\log_9 2}{\log_9 1,2 - \log_9 12}$.

1)

Дано выражение: $ \frac{\log_7 27 - 2\log_7 3}{\log_7 45 + \log_7 0,2} $.

Для решения воспользуемся следующими свойствами логарифмов: свойство степени $n \log_b a = \log_b a^n$, свойство частного $\log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c}$ и свойство произведения $\log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c)$.

Сначала преобразуем числитель дроби. Применим свойство степени логарифма:
$ 2\log_7 3 = \log_7 3^2 = \log_7 9 $.
Тогда числитель примет вид:
$ \log_7 27 - \log_7 9 $.
Теперь применим свойство частного логарифмов:
$ \log_7 \frac{27}{9} = \log_7 3 $.

Далее преобразуем знаменатель дроби. Применим свойство произведения логарифмов:
$ \log_7 45 + \log_7 0,2 = \log_7 (45 \cdot 0,2) = \log_7 9 $.

Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:
$ \frac{\log_7 3}{\log_7 9} $.

Чтобы упростить это выражение, можно воспользоваться формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$, в нашем случае $\frac{\log_7 3}{\log_7 9} = \log_9 3$. Так как $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$, то $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.
Другой способ — представить $9$ как $3^2$ и снова воспользоваться свойством степени:
$ \frac{\log_7 3}{\log_7 3^2} = \frac{\log_7 3}{2\log_7 3} $.

Сократив общий множитель $ \log_7 3 $ в числителе и знаменателе, получаем конечный результат:
$ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

2)

Дано выражение: $ \frac{\log_9 125 + 3\log_9 2}{\log_9 1,2 - \log_9 12} $.

Воспользуемся теми же свойствами логарифмов, что и в первом примере.

Преобразуем числитель дроби. Применим свойство степени логарифма:
$ 3\log_9 2 = \log_9 2^3 = \log_9 8 $.
Теперь применим свойство произведения логарифмов:
$ \log_9 125 + \log_9 8 = \log_9 (125 \cdot 8) = \log_9 1000 $.

Далее преобразуем знаменатель дроби. Применим свойство частного логарифмов:
$ \log_9 1,2 - \log_9 12 = \log_9 \frac{1,2}{12} = \log_9 0,1 $.

Подставим полученные выражения обратно в исходную дробь:
$ \frac{\log_9 1000}{\log_9 0,1} $.

Чтобы упростить это выражение, представим $1000$ как $10^3$ и $0,1$ как $10^{-1}$:
$ \frac{\log_9 10^3}{\log_9 10^{-1}} $.

Применим свойство степени логарифма к числителю и знаменателю:
$ \frac{3\log_9 10}{-1\log_9 10} = \frac{3\log_9 10}{-\log_9 10} $.

Сократив общий множитель $ \log_9 10 $ в числителе и знаменателе, получаем конечный результат:
$ \frac{3}{-1} = -3 $.

Ответ: $ -3 $.