Номер 4.22, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.22, страница 34.

4.22. Вычислите:

1) $2^{4\log_2 3 - 1}$;

2) $\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2}$;

3) $8^{1 - \frac{1}{3}\log_2 12}$;

4) $6^{\frac{1}{2}\log_6 9 - \log_{\frac{1}{6}} 3}$;

5) $12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5}$;

6) $1000^{\frac{1}{2}\lg 25 - 3\lg 2}$;

7) $\log_{13}\left(100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3}\right)$;

8) $5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3}$;

1) Для вычисления выражения $2^{4\log_2 3 - 1}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.Сначала применим свойство разности в показателе степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:$2^{4\log_2 3 - 1} = \frac{2^{4\log_2 3}}{2^1}$.Теперь преобразуем числитель. Используем свойство логарифма $k\log_b a = \log_b a^k$:$4\log_2 3 = \log_2 3^4 = \log_2 81$.Подставим это в выражение для числителя: $2^{\log_2 81}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $2^{\log_2 81} = 81$.Таким образом, исходное выражение равно $\frac{81}{2} = 40.5$.
Ответ: $40.5$.

2) Рассмотрим выражение $(\frac{1}{5})^{\log_{25} 9 + 2}$.Используем свойство суммы в показателе степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:$(\frac{1}{5})^{\log_{25} 9 + 2} = (\frac{1}{5})^{\log_{25} 9} \cdot (\frac{1}{5})^2$.Второй множитель равен $(\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.Преобразуем первый множитель. Представим основание степени как $5^{-1}$:$(\frac{1}{5})^{\log_{25} 9} = (5^{-1})^{\log_{25} 9} = 5^{-\log_{25} 9}$.Теперь преобразуем логарифм в показателе, используя формулу $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$:$\log_{25} 9 = \log_{5^2} 3^2 = \frac{2}{2}\log_5 3 = \log_5 3$.Подставляем обратно в выражение: $5^{-\log_5 3}$.Используя свойство $k\log_b a = \log_b a^k$, получаем $5^{\log_5 3^{-1}} = 5^{\log_5 \frac{1}{3}}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, это равно $\frac{1}{3}$.Итоговый результат: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{75}$.
Ответ: $\frac{1}{75}$.

3) Вычислим $8^{1 - \frac{1}{3}\log_2 12}$.Применим свойство разности в показателе степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:$8^{1 - \frac{1}{3}\log_2 12} = \frac{8^1}{8^{\frac{1}{3}\log_2 12}}$.Преобразуем знаменатель. Представим основание $8$ как $2^3$:$8^{\frac{1}{3}\log_2 12} = (2^3)^{\frac{1}{3}\log_2 12}$.По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $2^{3 \cdot \frac{1}{3}\log_2 12} = 2^{\log_2 12}$.Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, имеем $2^{\log_2 12} = 12$.Таким образом, исходное выражение равно $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

4) Рассмотрим выражение $6^{\frac{1}{2}\log_6 9 - \log_{\frac{1}{6}} 3}$.Преобразуем показатель степени.Используем свойство $k\log_b a = \log_b a^k$:$\frac{1}{2}\log_6 9 = \log_6 9^{\frac{1}{2}} = \log_6 3$.Далее, используем свойство $\log_{b^k} a = \frac{1}{k}\log_b a$:$\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = -\log_6 3$.Подставим преобразованные логарифмы в показатель степени:$\log_6 3 - (-\log_6 3) = \log_6 3 + \log_6 3 = 2\log_6 3$.Снова применим свойство $k\log_b a = \log_b a^k$:$2\log_6 3 = \log_6 3^2 = \log_6 9$.Таким образом, исходное выражение принимает вид $6^{\log_6 9}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $6^{\log_6 9} = 9$.
Ответ: $9$.

5) Вычислим $12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5}$.Применим свойство суммы в показателе степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:$12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 12^{\log_{144} 4} \cdot 12^{\log_{12} 5}$.Второй множитель, согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, равен $12^{\log_{12} 5} = 5$.Рассмотрим первый множитель $12^{\log_{144} 4}$. Преобразуем логарифм в показателе, приведя его к основанию 12:$\log_{144} 4 = \log_{12^2} 4 = \frac{1}{2}\log_{12} 4$.Тогда первый множитель равен $12^{\frac{1}{2}\log_{12} 4}$.По свойству $k\log_b a = \log_b a^k$, получаем $12^{\log_{12} 4^{\frac{1}{2}}} = 12^{\log_{12} 2}$.По основному логарифмическому тождеству, это равно $2$.Итоговый результат: $2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: $10$.

6) Вычислим $1000^{\frac{1}{2}\lg 25 - 3\lg 2}$.Сначала преобразуем показатель степени, используя свойства логарифмов. Напомним, что $\lg x = \log_{10} x$.$\frac{1}{2}\lg 25 - 3\lg 2 = \lg 25^{\frac{1}{2}} - \lg 2^3 = \lg 5 - \lg 8$.Используя свойство разности логарифмов $\log_b m - \log_b n = \log_b \frac{m}{n}$, получаем:$\lg 5 - \lg 8 = \lg \frac{5}{8}$.Теперь подставим это в исходное выражение: $1000^{\lg \frac{5}{8}}$.Представим основание $1000$ как $10^3$:$(10^3)^{\lg \frac{5}{8}} = 10^{3\lg \frac{5}{8}}$.Используя свойство $k\log_b a = \log_b a^k$, имеем $10^{\lg (\frac{5}{8})^3}$.По основному логарифмическому тождеству ($10^{\log_{10} b} = b$), получаем:$(\frac{5}{8})^3 = \frac{5^3}{8^3} = \frac{125}{512}$.
Ответ: $\frac{125}{512}$.

7) Вычислим $\log_{13} (100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3})$.Вычислим значение выражения в скобках по частям.Первое слагаемое: $100^{\frac{1}{\log_7 10}}$.Используем свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$: $\frac{1}{\log_7 10} = \log_{10} 7 = \lg 7$.Выражение принимает вид $100^{\lg 7}$.Так как $100 = 10^2$, получаем $(10^2)^{\lg 7} = 10^{2\lg 7} = 10^{\lg 7^2} = 10^{\lg 49}$.По основному тождеству $10^{\lg 49} = 49$.Второе слагаемое: $2^{\log_2 15 + 3}$.Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $2^{\log_2 15} \cdot 2^3$.По основному тождеству $2^{\log_2 15} = 15$. А $2^3 = 8$.Произведение равно $15 \cdot 8 = 120$.Сумма в скобках равна $49 + 120 = 169$.Исходное выражение становится $\log_{13} 169$.Так как $169 = 13^2$, то $\log_{13} 169 = \log_{13} 13^2 = 2$.
Ответ: $2$.

8) Вычислим $5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3}$.Рассмотрим показатель степени: $\log_5 4 \cdot \log_2 3$.Преобразуем первый логарифм: $\log_5 4 = \log_5 2^2 = 2\log_5 2$.Теперь показатель степени равен $2\log_5 2 \cdot \log_2 3$.Воспользуемся свойством $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:$\log_5 2 \cdot \log_2 3 = \log_5 3$.Таким образом, показатель степени равен $2\log_5 3$.Подставим это в исходное выражение: $5^{2\log_5 3}$.Используем свойство $k\log_b a = \log_b a^k$:$5^{2\log_5 3} = 5^{\log_5 3^2} = 5^{\log_5 9}$.По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $5^{\log_5 9} = 9$.
Ответ: $9$.