Номер 4.19, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.19, страница 33.

4.19. Представьте:

1) число 6 в виде логарифма по основанию 2;

2) число −1 в виде логарифма по основанию 0,4;

3) число $\frac{1}{2}$ в виде логарифма по основанию 9;

4) число $\frac{2}{7}$ в виде логарифма по основанию 10.

1) Чтобы представить произвольное число $c$ в виде логарифма по основанию $a$, используется основное логарифмическое тождество в следующем виде: $c = \log_a(a^c)$.
Для данного случая, нам нужно представить число 6 в виде логарифма по основанию 2. Здесь $c=6$, а основание $a=2$.
Подставим эти значения в формулу:
$6 = \log_2(2^6)$
Теперь вычислим значение выражения в скобках:
$2^6 = 64$
Таким образом, мы получаем:
$6 = \log_2(64)$
Ответ: $\log_2(64)$

2) Представим число -1 в виде логарифма по основанию 0,4.
Воспользуемся той же формулой $c = \log_a(a^c)$. В этом случае $c = -1$, а основание $a = 0,4$.
Подставляем значения:
$-1 = \log_{0,4}(0,4^{-1})$
Вычислим значение $0,4^{-1}$:
$0,4^{-1} = \frac{1}{0,4} = \frac{1}{4/10} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2,5$
Следовательно, искомое представление:
$-1 = \log_{0,4}(2,5)$
Ответ: $\log_{0,4}(2,5)$

3) Представим число $\frac{1}{2}$ в виде логарифма по основанию 9.
Применяем формулу $c = \log_a(a^c)$, где $c = \frac{1}{2}$ и основание $a = 9$.
Получаем:
$\frac{1}{2} = \log_9(9^{\frac{1}{2}})$
Вычислим значение $9^{\frac{1}{2}}$:
$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$
Таким образом, получаем:
$\frac{1}{2} = \log_9(3)$
Ответ: $\log_9(3)$

4) Представим число $\frac{2}{7}$ в виде логарифма по основанию 10.
Используем формулу $c = \log_a(a^c)$, где $c = \frac{2}{7}$ и основание $a = 10$.
Подставляем значения:
$\frac{2}{7} = \log_{10}(10^{\frac{2}{7}})$
Выражение $10^{\frac{2}{7}}$ можно оставить в этом виде или представить в виде корня $\sqrt[7]{100}$. Для записи логарифма удобнее использовать степенную форму. Логарифм по основанию 10 также называют десятичным логарифмом и обозначают $\lg$.
Таким образом, искомое представление:
$\frac{2}{7} = \log_{10}(10^{\frac{2}{7}})$
Ответ: $\log_{10}(10^{\frac{2}{7}})$