Номер 4.13, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.13, страница 33.

4.13. Вычислите:

1) $2^{\log_2 32}$;

2) $5^{\log_5 0,45}$;

3) $7^{2\log_7 2}$;

4) $64^{0,5\log_2 12}$;

5) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 6}$;

6) $6^{1+\log_6 5}$;

7) $\left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{\frac{2}{3}} 8-2}$;

8) $6^{\log_{\frac{1}{6}} 3}$.

1) Для вычисления данного выражения воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае $a=2$ и $b=32$.
$2^{\log_2 32} = 32$.
Также можно сначала вычислить показатель степени: $\log_2 32 = 5$, так как $2^5 = 32$. Тогда выражение примет вид $2^5 = 32$.
Ответ: 32

2) Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном примере $a=5$ и $b=0.45$.
$5^{\log_5 0.45} = 0.45$.
Ответ: 0.45

3) Воспользуемся свойством степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$. Преобразуем показатель степени:
$2\log_7 2 = \log_7 2^2 = \log_7 4$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 4}$.
Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$7^{\log_7 4} = 4$.
Ответ: 4

4) Сначала представим основание степени 64 как степень числа 2, так как основание логарифма в показателе равно 2. $64 = 2^6$.
$64^{0.5\log_2 12} = (2^6)^{0.5\log_2 12}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^6)^{0.5\log_2 12} = 2^{6 \cdot 0.5\log_2 12} = 2^{3\log_2 12}$.
Теперь применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$ к показателю:
$3\log_2 12 = \log_2 12^3$.
Исходное выражение равно $2^{\log_2 12^3}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$2^{\log_2 12^3} = 12^3 = 1728$.
Ответ: 1728

5) Представим основание степени $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$.
$(\frac{1}{3})^{\log_3 6} = (3^{-1})^{\log_3 6}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^{-1})^{\log_3 6} = 3^{-1 \cdot \log_3 6} = 3^{-\log_3 6}$.
Используем свойство логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:
$3^{-\log_3 6} = 3^{\log_3 6^{-1}} = 3^{\log_3 \frac{1}{6}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$3^{\log_3 \frac{1}{6}} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

6) Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$6^{1+\log_6 5} = 6^1 \cdot 6^{\log_6 5}$.
Теперь вычислим второй множитель, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 5} = 5$.
Тогда все выражение равно:
$6 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30

7) Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
$(\frac{2}{3})^{\log_{\frac{2}{3}} 8 - 2} = \frac{(\frac{2}{3})^{\log_{\frac{2}{3}} 8}}{(\frac{2}{3})^2}$.
Числитель, согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, равен 8.
Знаменатель равен $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.
Получаем дробь: $\frac{8}{\frac{4}{9}} = 8 \cdot \frac{9}{4} = 2 \cdot 9 = 18$.
Второй способ: преобразуем показатель степени, используя свойства логарифмов. $2 = 2\log_{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3}) = \log_{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3})^2 = \log_{\frac{2}{3}} (\frac{4}{9})$.
Тогда показатель равен $\log_{\frac{2}{3}} 8 - \log_{\frac{2}{3}} (\frac{4}{9})$. По свойству разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$:
$\log_{\frac{2}{3}} (\frac{8}{4/9}) = \log_{\frac{2}{3}} (8 \cdot \frac{9}{4}) = \log_{\frac{2}{3}} 18$.
Тогда исходное выражение равно $(\frac{2}{3})^{\log_{\frac{2}{3}} 18} = 18$.
Ответ: 18

8) Преобразуем логарифм в показателе, приведя его к основанию 6. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.
Основание логарифма $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.
$\log_{\frac{1}{6}} 3 = \log_{6^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} \log_6 3 = -\log_6 3$.
Подставим в исходное выражение:
$6^{\log_{\frac{1}{6}} 3} = 6^{-\log_6 3}$.
Используем свойство степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$:
$6^{-\log_6 3} = 6^{\log_6 3^{-1}} = 6^{\log_6 \frac{1}{3}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем:
$6^{\log_6 \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$