Номер 4.10, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.10, страница 32.

4.10. Решите уравнение:

1) $\log_{6} x = 2;$

2) $\log_{\sqrt[3]{5}} x = \frac{3}{2};$

3) $\log_{0,2} x = -3;$

4) $\log_{x} 6 = 5;$

5) $\log_{x} 81 = 4;$

6) $\log_{x} 11 = -1.$

1) $\log_6 x = 2$

По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то это эквивалентно $a = b^c$. В данном уравнении основание $b=6$, значение логарифма $c=2$, а аргумент $a=x$.

Применяя определение, получаем:

$x = 6^2$

$x = 36$

Область определения логарифма требует, чтобы аргумент был больше нуля ($x > 0$). Решение $x=36$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $36$

2) $\log_{\sqrt[3]{5}} x = \frac{3}{2}$

Используем определение логарифма: $x = (\sqrt[3]{5})^{\frac{3}{2}}$.

Представим основание $\sqrt[3]{5}$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$.

Тогда уравнение принимает вид:

$x = (5^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}$

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножаем показатели:

$x = 5^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} = 5^{\frac{3}{6}} = 5^{\frac{1}{2}}$

Возвращаясь к корням, получаем:

$x = \sqrt{5}$

Решение $x=\sqrt{5}$ удовлетворяет условию $x>0$.

Ответ: $\sqrt{5}$

3) $\log_{0.2} x = -3$

По определению логарифма: $x = (0.2)^{-3}$.

Представим десятичную дробь $0.2$ в виде обыкновенной дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Тогда:

$x = (\frac{1}{5})^{-3}$

Используя свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:

$x = 5^3$

$x = 125$

Решение $x=125$ удовлетворяет условию $x>0$.

Ответ: $125$

4) $\log_x 6 = 5$

По определению логарифма: $x^5 = 6$.

Чтобы найти $x$, извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[5]{6}$

Область определения логарифма требует, чтобы основание было больше нуля и не равнялось единице ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Корень $\sqrt[5]{6}$ является положительным числом и не равен 1. Следовательно, решение удовлетворяет условиям.

Ответ: $\sqrt[5]{6}$

5) $\log_x 81 = 4$

По определению логарифма: $x^4 = 81$.

Мы знаем, что $81 = 3^4$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$x^4 = 3^4$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x = 3$ и $x = -3$.

Однако основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равняться единице ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.

Корень $x = 3$ удовлетворяет всем условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).

Ответ: $3$

6) $\log_x 11 = -1$

По определению логарифма: $x^{-1} = 11$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем:

$\frac{1}{x} = 11$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{11}$

Проверяем условия для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Решение $x = \frac{1}{11}$ удовлетворяет этим условиям, так как $\frac{1}{11} > 0$ и $\frac{1}{11} \neq 1$.

Ответ: $\frac{1}{11}$