Номер 4.9, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 4. Логарифм и его свойства. Упражнения - номер 4.9, страница 32.

Учебник.

4.9. Решите уравнение:

1) $log_{7}x = -1;$

2) $log_{4}x = \frac{1}{2};$

3) $log_{\sqrt{3}}x = 6;$

4) $log_{2}x = 0;$

5) $log_{x}9 = 2;$

6) $log_{x}0,25 = -2;$

7) $log_{x}2 = 2;$

8) $log_{x}5 = \frac{1}{3}.$

Решение.

Решение 2.

1) Исходное уравнение: $log_7 x = -1$.
По определению логарифма, если $log_b a = c$, то $a = b^c$.
В нашем случае, основание $b=7$, $c=-1$, и мы ищем $x=a$.
Применяя определение, получаем: $x = 7^{-1}$.
Отрицательная степень означает обратное число, поэтому $x = \frac{1}{7}$.
Проверим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма $x$ должен быть больше нуля. $x = \frac{1}{7} > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $x = \frac{1}{7}$.

2) Исходное уравнение: $log_4 x = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма ($a = b^c$), получаем: $x = 4^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню: $x = \sqrt{4}$.
Следовательно, $x = 2$.
Проверим ОДЗ: $x = 2 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $x = 2$.

3) Исходное уравнение: $log_{\sqrt{3}} x = 6$.
По определению логарифма, $x = (\sqrt{3})^6$.
Чтобы вычислить $(\sqrt{3})^6$, можно переписать $\sqrt{3}$ как $3^{\frac{1}{2}}$.
Тогда $x = (3^{\frac{1}{2}})^6 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 3^3$.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Следовательно, $x = 27$.
Проверим ОДЗ: $x = 27 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $x = 27$.

4) Исходное уравнение: $log_2 x = 0$.
По определению логарифма, $x = 2^0$.
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.
Следовательно, $x = 1$.
Проверим ОДЗ: $x = 1 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $x = 1$.

5) Исходное уравнение: $log_x 9 = 2$.
В этом уравнении $x$ является основанием логарифма.
По определению логарифма, $x^2 = 9$.
Это квадратное уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$.
Однако, основание логарифма $x$ по определению должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним.
Корень $x = 3$ удовлетворяет обоим условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).
Ответ: $x = 3$.

6) Исходное уравнение: $log_x 0,25 = -2$.
Здесь $x$ также является основанием логарифма. По определению, $x^{-2} = 0,25$.
Представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Уравнение принимает вид: $x^{-2} = \frac{1}{4}$.
По свойству степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{4}$.
Отсюда следует, что $x^2 = 4$.
Корнями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.
Проверим ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$.
Корень $x = 2$ удовлетворяет условиям.
Ответ: $x = 2$.

7) Исходное уравнение: $log_x 2 = 2$.
По определению логарифма, $x^2 = 2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.
Проверим ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -\sqrt{2}$ не удовлетворяет условию $x > 0$.
Корень $x = \sqrt{2}$ удовлетворяет условиям, так как $\sqrt{2} \approx 1,414 > 0$ и $\sqrt{2} \neq 1$.
Ответ: $x = \sqrt{2}$.

8) Исходное уравнение: $log_x 5 = \frac{1}{3}$.
По определению логарифма, $x^{\frac{1}{3}} = 5$.
Степень $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню, то есть $\sqrt[3]{x} = 5$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = 5^3$.
Получаем $x = 125$.
Проверим ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
$125 > 0$ и $125 \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: $x = 125$.