Номер 4.5, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.5, страница 32.

4.5. Найдите логарифм по основанию $ \frac{1}{3} $ числа:

1) $ \frac{1}{9} $; 2) $ \frac{1}{27} $; 3) $ 3 $; 4) $ 81 $; 5) $ \frac{1}{\sqrt[3]{3}} $; 6) $ \sqrt[3]{3} $.

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_{a}b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, равенство $\log_{a}b = c$ равносильно равенству $a^c = b$.

В данной задаче основание логарифма $a = \frac{1}{3}$.

1) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $\frac{1}{9}$.

Пусть $\log_{1/3}(\frac{1}{9}) = x$. По определению логарифма, это означает, что $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{9}$.

Так как $9 = 3^2$, то $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$.

Получаем уравнение $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^2$.

Следовательно, $x=2$.

Ответ: $2$.

2) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $\frac{1}{27}$.

Пусть $\log_{1/3}(\frac{1}{27}) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$.

Так как $27 = 3^3$, то $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Получаем уравнение $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^3$.

Следовательно, $x=3$.

Ответ: $3$.

3) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $3$.

Пусть $\log_{1/3}(3) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = 3$.

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, запишем $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$.

Получаем уравнение $(3^{-1})^x = 3^1$, что равносильно $3^{-x} = 3^1$.

Приравнивая показатели степеней, имеем $-x = 1$, откуда $x = -1$.

Ответ: $-1$.

4) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $81$.

Пусть $\log_{1/3}(81) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = 81$.

Представим обе части уравнения как степени числа 3. Мы знаем, что $81 = 3^4$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Уравнение принимает вид $(3^{-1})^x = 3^4$, или $3^{-x} = 3^4$.

Отсюда $-x=4$, то есть $x=-4$.

Ответ: $-4$.

5) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Пусть $\log_{1/3}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$. Используя свойство корня $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$, имеем $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$.

Тогда $\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = \frac{1}{3^{1/3}}$. Так как $\frac{1}{a^b} = (\frac{1}{a})^b$, то $\frac{1}{3^{1/3}} = (\frac{1}{3})^{1/3}$.

Получаем уравнение $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{1/3}$.

Следовательно, $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

6) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $\sqrt[3]{3}$.

Пусть $\log_{1/3}(\sqrt[3]{3}) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = \sqrt[3]{3}$.

Представим обе части уравнения как степени числа 3. $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$.

Уравнение принимает вид $(3^{-1})^x = 3^{1/3}$, что равносильно $3^{-x} = 3^{1/3}$.

Приравнивая показатели степеней, получаем $-x = \frac{1}{3}$, откуда $x = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.