Номер 4.1, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.1, страница 31.

4.1. Верно ли равенство:

1) $\log_7 \frac{1}{49} = -3;$

2) $\log_{25} 5 = 2;$

3) $\log_5 125 = \frac{1}{3};$

4) $\log_3 \frac{1}{81} = -4;$

5) $\log_{0,01} 10 = 2;$

6) $\lg 0,0001 = -4;$

7) $\log_{\frac{1}{9}} 3\sqrt[3]{3} = \frac{2}{3};$

8) $\log_{\sqrt{5}} 0,2 = -2?$

1) Для проверки равенства $\log_7 \frac{1}{49} = -3$ вычислим значение логарифма в левой части. Так как $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$, то по свойству логарифма $\log_a a^x = x$ имеем: $\log_7 \frac{1}{49} = \log_7 7^{-2} = -2$. Сравнивая полученный результат с правой частью равенства, видим, что $-2 \neq -3$. Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

2) Проверим равенство $\log_{25} 5 = 2$. Представим основание логарифма как степень числа 5: $25=5^2$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получаем: $\log_{25} 5 = \log_{5^2} 5 = \frac{1}{2} \log_5 5 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \neq 2$, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

3) Проверим равенство $\log_5 125 = \frac{1}{3}$. Вычислим значение логарифма. Поскольку $125 = 5^3$, имеем $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$. Сравнивая результат с правой частью, видим, что $3 \neq \frac{1}{3}$. Равенство неверно.
Ответ: неверно.

4) Проверим равенство $\log_3 \frac{1}{81} = -4$. Вычислим значение логарифма в левой части. Так как $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$, получаем $\log_3 \frac{1}{81} = \log_3 3^{-4} = -4$. Правая часть равенства также равна $-4$. Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

5) Проверим равенство $\log_{0.01} 10 = 2$. Представим основание логарифма в виде степени числа 10: $0.01 = 10^{-2}$. Тогда, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, получим: $\log_{0.01} 10 = \log_{10^{-2}} 10^1 = \frac{1}{-2} \log_{10} 10 = -\frac{1}{2}$. Так как $-\frac{1}{2} \neq 2$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

6) Проверим равенство $\lg 0.0001 = -4$. Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Представим $0.0001$ как степень 10: $0.0001 = 10^{-4}$. Тогда $\lg 0.0001 = \log_{10} 10^{-4} = -4$. Поскольку левая и правая части равны, равенство верно.
Ответ: верно.

7) Проверим равенство $\log_{\frac{1}{9}} 3\sqrt[3]{3} = \frac{2}{3}$. Сначала преобразуем основание и аргумент логарифма к степеням одного числа (в данном случае 3). Основание: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$. Аргумент: $3\sqrt[3]{3} = 3^1 \cdot 3^{1/3} = 3^{1+\frac{1}{3}} = 3^{4/3}$. Теперь вычислим логарифм, используя свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$: $\log_{3^{-2}} 3^{4/3} = \frac{4/3}{-2} \log_3 3 = \frac{4/3}{-2} \cdot 1 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. Так как $-\frac{2}{3} \neq \frac{2}{3}$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

8) Проверим равенство $\log_{\sqrt{5}} 0.2 = -2$. Преобразуем основание и аргумент логарифма к степеням числа 5. Основание: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$. Аргумент: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Вычисляем логарифм: $\log_{\sqrt{5}} 0.2 = \log_{5^{1/2}} 5^{-1} = \frac{-1}{1/2} \log_5 5 = -2 \cdot 1 = -2$. Левая и правая части равны, следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.