Номер 3.25, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.25, страница 25.

3.25. Решите уравнение $(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1$.

Дано уравнение:

$(x^2 - 5x + 7)^2 - (x - 2)(x - 3) = 1$

Первым шагом раскроем скобки в произведении $(x - 2)(x - 3)$:

$(x - 2)(x - 3) = x \cdot x - x \cdot 3 - 2 \cdot x + (-2) \cdot (-3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6$

Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:

$(x^2 - 5x + 7)^2 - (x^2 - 5x + 6) = 1$

Мы видим, что в уравнении несколько раз встречается выражение $x^2 - 5x$. Чтобы упростить уравнение, введем замену переменной. Обозначим $t = x^2 - 5x + 6$.

Тогда выражение в первых скобках можно представить через $t$:

$x^2 - 5x + 7 = (x^2 - 5x + 6) + 1 = t + 1$

Теперь уравнение с новой переменной $t$ выглядит следующим образом:

$(t + 1)^2 - t = 1$

Решим это более простое уравнение. Раскроем квадрат суммы:

$t^2 + 2t + 1 - t = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$t^2 + t + 1 = 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$t^2 + t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

$t_1 = 0$ или $t_2 = -1$.

Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$, чтобы найти $x$.

1. Случай, когда $t = 0$.

Подставляем значение $t$ в выражение для замены:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна $5$, а их произведение равно $6$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $3$.

$x_1 = 2$

$x_2 = 3$

2. Случай, когда $t = -1$.

Подставляем второе значение $t$ в выражение для замены:

$x^2 - 5x + 6 = -1$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 5x + 7 = 0$

Чтобы найти корни этого квадратного уравнения, вычислим его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет только два корня, найденные в первом случае.

Ответ: $2; 3$.