Номер 3.21, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 3. Показательные неравенства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 3.21, страница 25.

3.21. Решите неравенство $3^{\sqrt{x}} - 3^{2-\sqrt{x}} \le 8$.

Исходное неравенство: $3^{\sqrt{x}} - 3^{2-\sqrt{x}} \le 8$.

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, следовательно:
$x \ge 0$.

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$3^{\sqrt{x}} - \frac{3^2}{3^{\sqrt{x}}} \le 8$
$3^{\sqrt{x}} - \frac{9}{3^{\sqrt{x}}} \le 8$

Для упрощения неравенства введем замену. Пусть $t = 3^{\sqrt{x}}$.
Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ, то показательная функция $3^{\sqrt{x}}$ принимает значения не меньше $3^0$.
Таким образом, $t = 3^{\sqrt{x}} \ge 3^0 = 1$. Итак, у нас есть ограничение $t \ge 1$.

Подставим новую переменную $t$ в неравенство:
$t - \frac{9}{t} \le 8$

Решим полученное рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$t - 8 - \frac{9}{t} \le 0$
$\frac{t^2 - 8t - 9}{t} \le 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $t^2 - 8t - 9 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$t_1 = \frac{8 - 10}{2} = -1$
$t_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$
Теперь неравенство можно записать в виде:
$\frac{(t+1)(t-9)}{t} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. На числовой оси отметим нули числителя ($t=-1$, $t=9$) и нуль знаменателя ($t=0$).

Определив знаки выражения $\frac{(t+1)(t-9)}{t}$ на каждом интервале, получим решение:
$t \in (-\infty, -1] \cup (0, 9]$.

Теперь учтем ограничение $t \ge 1$, полученное ранее из замены.
Найдем пересечение множества решений $t \in (-\infty, -1] \cup (0, 9]$ с условием $t \ge 1$.
Пересечением является отрезок $[1, 9]$.
Таким образом, $1 \le t \le 9$.

Выполним обратную замену $t = 3^{\sqrt{x}}$:
$1 \le 3^{\sqrt{x}} \le 9$

Представим числа 1 и 9 в виде степеней с основанием 3:
$3^0 \le 3^{\sqrt{x}} \le 3^2$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^k$ является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует больший показатель, и мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки:
$0 \le \sqrt{x} \le 2$

Поскольку все части этого двойного неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$0^2 \le (\sqrt{x})^2 \le 2^2$
$0 \le x \le 4$

Полученное решение $x \in [0, 4]$ полностью удовлетворяет первоначальному ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in [0; 4]$.