Номер 3.22, страница 25 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 3. Показательные неравенства. Упражнения - номер 3.22, страница 25.

Учебник.

3.22. Решите неравенство:

1) $3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x < 0;$

2) $5 \cdot 25^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{\frac{1}{x}} \ge 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}}.$

Решение.

Решение 2.

1) Решим неравенство $3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x < 0$.

Представим основания степеней через простые множители 2 и 3:

$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$

$6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$3 \cdot (2^x)^2 + 2 \cdot (3^x)^2 - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x < 0$

Это однородное показательное неравенство. Разделим обе части неравенства на $9^x = (3^x)^2$. Так как $9^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.

$3 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + 2 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} < 0$

$3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} - 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 2 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получим квадратное неравенство относительно $t$:

$3t^2 - 5t + 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 - 5t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$, $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Так как коэффициент при $t^2$ положительный ($3 > 0$), ветви параболы $y = 3t^2 - 5t + 2$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $3t^2 - 5t + 2 < 0$ выполняется между корнями.

$\frac{2}{3} < t < 1$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\frac{2}{3} < \left(\frac{2}{3}\right)^x < 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{2}{3}$: $1 = \left(\frac{2}{3}\right)^0$.

$\left(\frac{2}{3}\right)^1 < \left(\frac{2}{3}\right)^x < \left(\frac{2}{3}\right)^0$

Так как основание степени $\frac{2}{3}$ меньше 1 ($0 < \frac{2}{3} < 1$), показательная функция $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знаки неравенства меняются на противоположные.

$1 > x > 0$

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

2) Решим неравенство $5 \cdot 25^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{\frac{1}{x}} \ge 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $x \ne 0$, так как в показателе степени есть деление на $x$.

Перенесем все члены в левую часть:

$5 \cdot 25^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot 10^{\frac{1}{x}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{x}} \ge 0$

Представим основания степеней 25, 10 и 4 через множители 5 и 2:

$5 \cdot (5^2)^{\frac{1}{x}} + 3 \cdot (5 \cdot 2)^{\frac{1}{x}} - 2 \cdot (2^2)^{\frac{1}{x}} \ge 0$

$5 \cdot \left(5^{\frac{1}{x}}\right)^2 + 3 \cdot 5^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}} - 2 \cdot \left(2^{\frac{1}{x}}\right)^2 \ge 0$

Это однородное показательное неравенство. Разделим обе части на $\left(2^{\frac{1}{x}}\right)^2 = 4^{\frac{1}{x}}$. Так как $4^{\frac{1}{x}} > 0$ при всех допустимых $x$, знак неравенства не изменится.

$5 \cdot \frac{\left(5^{\frac{1}{x}}\right)^2}{\left(2^{\frac{1}{x}}\right)^2} + 3 \cdot \frac{5^{\frac{1}{x}} \cdot 2^{\frac{1}{x}}}{\left(2^{\frac{1}{x}}\right)^2} - 2 \cdot \frac{\left(2^{\frac{1}{x}}\right)^2}{\left(2^{\frac{1}{x}}\right)^2} \ge 0$

$5 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{2}{x}} + 3 \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} - 2 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$. Так как $t$ — значение показательной функции, $t > 0$.

Получим квадратное неравенство:

$5t^2 + 3t - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $5t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

Корни: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$, $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ветви параболы $y = 5t^2 + 3t - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $5t^2 + 3t - 2 \ge 0$ выполняется при $t \le -1$ или $t \ge \frac{2}{5}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{2}{5}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \ge \frac{2}{5}$

Представим правую часть с тем же основанием: $\frac{2}{5} = \left(\frac{5}{2}\right)^{-1}$.

$\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{x}} \ge \left(\frac{5}{2}\right)^{-1}$

Так как основание степени $\frac{5}{2}$ больше 1, показательная функция является возрастающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$\frac{1}{x} \ge -1$

Решим это рациональное неравенство:

$\frac{1}{x} + 1 \ge 0$

$\frac{1 + x}{x} \ge 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = -1$. Нуль знаменателя: $x = 0$.

На числовой прямой отмечаем точки -1 (включительно, так как неравенство нестрогое) и 0 (исключаем, так как это нуль знаменателя). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -1]$, $(-1, 0)$ и $(0, +\infty)$.

• При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{1+1}{1} = 2 > 0$. Интервал $(0, +\infty)$ является решением.
• При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $\frac{1-0.5}{-0.5} = -1 < 0$. Интервал $(-1, 0)$ не является решением.
• При $x \le -1$ (например, $x=-2$): $\frac{1-2}{-2} = 0.5 > 0$. Интервал $(-\infty, -1]$ является решением.

Объединяя полученные интервалы, получаем решение $x \in (-\infty, -1] \cup (0, +\infty)$. Это решение соответствует ОДЗ ($x \ne 0$).

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (0; +\infty)$.