Номер 2, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2, страница 31.

2. Какое равенство называют основным логарифмическим тождеством?

Основное логарифмическое тождество — это равенство, которое является прямым следствием определения логарифма. Давайте разберем его по шагам.

1. Определение логарифма. Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ (где основание $a$ — положительное, не равное единице число) называется такой показатель степени $c$, в которую нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Математически это определение записывается так:

$ \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b $

Здесь важны ограничения: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.

2. Вывод тождества. Основное логарифмическое тождество получается, если мы объединим две части определения. Мы знаем, что $a^c = b$ и $c = \log_a b$. Если мы подставим второе выражение в первое (то есть заменим $c$ на $ \log_a b $), то получим:

$ a^{\log_a b} = b $

Это и есть основное логарифмическое тождество. Оно показывает, что операция возведения в степень и операция логарифмирования по одному и тому же основанию являются взаимно обратными.

Таким образом, тождество справедливо при тех же условиях, что и определение логарифма: $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.

Ответ: Основным логарифмическим тождеством называют равенство $a^{\log_a b} = b$, которое справедливо при $a > 0$, $a \ne 1$ и $b > 0$.