Номер 4, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4, страница 31.

4. Сформулируйте свойства логарифмов.

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Определение логарифма можно записать в виде тождества, которое также является одним из свойств.

Для существования логарифма должны выполняться следующие условия: основание $a > 0$ и $a \ne 1$, а логарифмируемое число $b > 0$.

Основные свойства логарифмов:

1. Основное логарифмическое тождество

Это свойство напрямую следует из определения логарифма. Оно гласит, что если основание $a$ возвести в степень, равную логарифму числа $b$ по этому же основанию $a$, то получится число $b$.

Ответ: $a^{\log_a b} = b$

2. Логарифм произведения

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме их логарифмов по тому же основанию. Это свойство позволяет заменять логарифм произведения на сумму логарифмов.

Ответ: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

3. Логарифм частного (дроби)

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя по тому же основанию. Это свойство позволяет заменять логарифм дроби на разность логарифмов.

Ответ: $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$

4. Логарифм степени

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени. Это свойство позволяет выносить показатель степени за знак логарифма.

Ответ: $\log_a (x^p) = p \cdot \log_a x$

5. Формула перехода к новому основанию

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ равен отношению логарифма числа $b$ по новому основанию $c$ к логарифму старого основания $a$ по тому же новому основанию $c$. Это свойство позволяет переходить к более удобному основанию (например, к $10$ или $e$).

Ответ: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

6. Следствие из формулы перехода к новому основанию

Частным случаем предыдущей формулы (когда $c=b$) является формула, позволяющая "перевернуть" логарифм, то есть поменять местами основание логарифма и число под знаком логарифма.

Ответ: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

7. Логарифм единицы

Логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0=1$).

Ответ: $\log_a 1 = 0$

8. Логарифм основания

Логарифм числа, равного основанию, равен единице, так как любое число в первой степени равно самому себе ($a^1=a$).

Ответ: $\log_a a = 1$

9. Свойство степени в основании логарифма

Если основание логарифма является степенью $a^k$, то показатель этой степени $k$ можно вынести за знак логарифма как обратное число (то есть $1/k$).

Ответ: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$

10. Обобщенное свойство для степеней

Это свойство объединяет свойство логарифма степени и свойство степени в основании. Показатель степени логарифмируемого числа выносится в числитель, а показатель степени основания — в знаменатель.

Ответ: $\log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b$