Номер 4.2, страница 31 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 4. Логарифм и его свойства. Упражнения - номер 4.2, страница 31.

Учебник.

4.2. Найдите логарифм по основанию 2 числа:

1) 1;

2) 2;

3) 32;

4) $\sqrt{2}$;

5) 0,5;

6) $\frac{1}{8}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

8) $2\sqrt{2}$.

Решение.

Решение 2.

1)Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $ \log_a(b) $) — это показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Таким образом, равенство $ \log_a(b) = x $ эквивалентно равенству $ a^x = b $. В данном задании основание $a=2$.Нам нужно найти $ \log_2(1) $. Обозначим искомый логарифм через $x$, то есть $ \log_2(1) = x $. По определению логарифма, это означает, что $ 2^x = 1 $. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому $ x=0 $.Ответ: 0

2)Найдем $ \log_2(2) $. Пусть $ \log_2(2) = x $. Это эквивалентно уравнению $ 2^x = 2 $. Очевидно, что $ 2^1 = 2 $, следовательно, $ x=1 $.Ответ: 1

3)Найдем $ \log_2(32) $. Пусть $ \log_2(32) = x $. Это означает, что $ 2^x = 32 $. Нам нужно представить число 32 в виде степени двойки. $ 2^1 = 2 $, $ 2^2 = 4 $, $ 2^3 = 8 $, $ 2^4 = 16 $, $ 2^5 = 32 $. Таким образом, $ 2^x = 2^5 $, откуда $ x=5 $.Ответ: 5

4)Найдем $ \log_2(\sqrt{2}) $. Пусть $ \log_2(\sqrt{2}) = x $. Тогда $ 2^x = \sqrt{2} $. Квадратный корень можно представить в виде степени с дробным показателем: $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $. Получаем уравнение $ 2^x = 2^{1/2} $, из которого следует, что $ x = \frac{1}{2} $, или $0,5$.Ответ: 0,5

5)Найдем $ \log_2(0,5) $. Пусть $ \log_2(0,5) = x $. Тогда $ 2^x = 0,5 $. Представим десятичную дробь 0,5 в виде обыкновенной: $ 0,5 = \frac{1}{2} $. Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получим $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $. Уравнение принимает вид $ 2^x = 2^{-1} $, откуда $ x = -1 $.Ответ: -1

6)Найдем $ \log_2(\frac{1}{8}) $. Пусть $ \log_2(\frac{1}{8}) = x $. Тогда $ 2^x = \frac{1}{8} $. Мы знаем, что $ 8 = 2^3 $. Следовательно, $ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $. Получаем уравнение $ 2^x = 2^{-3} $, из которого следует, что $ x = -3 $.Ответ: -3

7)Найдем $ \log_2(\frac{1}{\sqrt{2}}) $. Пусть $ \log_2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = x $. Тогда $ 2^x = \frac{1}{\sqrt{2}} $. Представим $ \sqrt{2} $ как $ 2^{1/2} $. Тогда $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2} $. Уравнение принимает вид $ 2^x = 2^{-1/2} $, откуда $ x = -\frac{1}{2} $, или $-0,5$.Ответ: -0,5

8)Найдем $ \log_2(2\sqrt{2}) $. Пусть $ \log_2(2\sqrt{2}) = x $. Тогда $ 2^x = 2\sqrt{2} $. Представим выражение $ 2\sqrt{2} $ в виде степени двойки. Используя свойства степеней, имеем: $ 2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2} $. Получаем уравнение $ 2^x = 2^{3/2} $, из которого следует, что $ x = \frac{3}{2} $, или $1,5$.Ответ: 1,5