Номер 4.7, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 4. Логарифм и его свойства. Упражнения - номер 4.7, страница 32.

Учебник.

4.7. Чему равен логарифм числа 10 000 по основанию:

1) 10;

2) 100;

3) $ \sqrt{10} $;

4) 0,1;

5) 1000;

6) 0,0001?

Решение.

Решение 2.

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, равенство $\log_a b = x$ равносильно равенству $a^x = b$. В данной задаче нам нужно найти логарифм числа $10000$ по различным основаниям. Удобно представить число $10000$ в виде степени: $10000 = 10^4$.

1)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $10$. Обозначим искомый логарифм за $x$: $\log_{10} 10000 = x$. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $10^x = 10000$. Так как $10000 = 10^4$, получаем уравнение $10^x = 10^4$, откуда следует, что $x=4$.

Ответ: $4$.

2)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $100$. Обозначим $\log_{100} 10000 = x$. Это означает, что $100^x = 10000$. Представим $100$ как $10^2$, а $10000$ как $10^4$. Уравнение примет вид: $(10^2)^x = 10^4$, или $10^{2x} = 10^4$. Приравнивая показатели степени, получаем $2x = 4$. Решая уравнение, находим $x=2$.

Ответ: $2$.

3)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $\sqrt{10}$. Обозначим $\log_{\sqrt{10}} 10000 = x$. По определению, $(\sqrt{10})^x = 10000$. Представим основание и число в виде степеней числа $10$: $\sqrt{10} = 10^{1/2}$ и $10000 = 10^4$. Уравнение принимает вид: $(10^{1/2})^x = 10^4$, или $10^{x/2} = 10^4$. Приравнивая показатели, получаем $\frac{x}{2} = 4$, откуда $x=8$.

Ответ: $8$.

4)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $0,1$. Обозначим $\log_{0,1} 10000 = x$. Это значит, что $(0,1)^x = 10000$. Представим $0,1$ как $10^{-1}$, а $10000$ как $10^4$. Уравнение примет вид: $(10^{-1})^x = 10^4$, или $10^{-x} = 10^4$. Приравнивая показатели, получаем $-x = 4$. Следовательно, $x=-4$.

Ответ: $-4$.

5)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $1000$. Обозначим $\log_{1000} 10000 = x$. Это эквивалентно уравнению $1000^x = 10000$. Представим основание и число как степени $10$: $1000 = 10^3$ и $10000 = 10^4$. Уравнение примет вид: $(10^3)^x = 10^4$, или $10^{3x} = 10^4$. Приравнивая показатели, получаем $3x = 4$, откуда $x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

6)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $0,0001$. Обозначим $\log_{0,0001} 10000 = x$. Это означает, что $(0,0001)^x = 10000$. Представим $0,0001$ как $10^{-4}$, а $10000$ как $10^4$. Уравнение примет вид: $(10^{-4})^x = 10^4$, или $10^{-4x} = 10^4$. Приравнивая показатели, получаем $-4x = 4$. Следовательно, $x=-1$.

Ответ: $-1$.