Номер 4.11, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.11, страница 32.

4.11. Решите уравнение:

1) $6^x = 2;$

2) $5^x = 10;$

3) $0,4^x = 9;$

4) $2^{x-3} = 5;$

5) $(\frac{1}{3})^{1-x} = 2;$

6) $0,3^{3x+2} = 7.$

1) Дано показательное уравнение $6^x = 2$.

Для решения этого уравнения воспользуемся определением логарифма: если $a^x = b$, то $x = \log_a b$.

В нашем случае основание $a = 6$, а значение $b = 2$. Следовательно, показатель степени $x$ равен логарифму числа 2 по основанию 6.

$x = \log_6 2$.

Ответ: $x = \log_6 2$.

2) Дано показательное уравнение $5^x = 10$.

По определению логарифма, $x = \log_5 10$.

Это выражение можно упростить, используя свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$x = \log_5 (5 \cdot 2) = \log_5 5 + \log_5 2$.

Так как $\log_5 5 = 1$, получаем:

$x = 1 + \log_5 2$.

Ответ: $x = 1 + \log_5 2$.

3) Дано показательное уравнение $0.4^x = 9$.

Применяя определение логарифма, получаем:

$x = \log_{0.4} 9$.

Основание логарифма можно представить в виде обыкновенной дроби: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Тогда ответ можно записать и в виде $x = \log_{2/5} 9$.

Ответ: $x = \log_{0.4} 9$.

4) Дано показательное уравнение $2^{x-3} = 5$.

По определению логарифма, показатель степени $x-3$ равен логарифму числа 5 по основанию 2:

$x - 3 = \log_2 5$.

Чтобы найти $x$, перенесем -3 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 3 + \log_2 5$.

Ответ: $x = 3 + \log_2 5$.

5) Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^{1-x} = 2$.

Сначала преобразуем основание степени, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Подставим это в уравнение:

$(3^{-1})^{1-x} = 2$.

Далее используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{-(1-x)} = 2$,

$3^{x-1} = 2$.

Теперь, по определению логарифма, находим показатель степени:

$x - 1 = \log_3 2$.

Выражаем $x$:

$x = 1 + \log_3 2$.

Ответ: $x = 1 + \log_3 2$.

6) Дано показательное уравнение $0.3^{3x+2} = 7$.

Согласно определению логарифма, показатель степени $3x+2$ равен логарифму числа 7 по основанию 0.3:

$3x + 2 = \log_{0.3} 7$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала вычтем 2 из обеих частей:

$3x = \log_{0.3} 7 - 2$.

Теперь разделим обе части на 3:

$x = \frac{\log_{0.3} 7 - 2}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\log_{0.3} 7 - 2}{3}$.