Номер 4.17, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 4. Логарифм и его свойства. Упражнения - номер 4.17, страница 33.

Учебник.

4.17. Представьте:

1) число 2 в виде степени числа 5;

2) число $\frac{1}{9}$ в виде степени числа 10;

3) число $\sqrt{14}$ в виде степени числа 7;

4) число 0,17 в виде степени числа 18.

Решение.

Решение 2.

1) число 2 в виде степени числа 5;

Чтобы представить число 2 в виде степени с основанием 5, необходимо найти такой показатель степени $x$, что $5^x = 2$.
По определению логарифма, показатель степени $x$ равен логарифму числа 2 по основанию 5: $x = \log_5 2$.
Следовательно, используя основное логарифмическое тождество $b^{\log_b a} = a$, получаем:
$2 = 5^{\log_5 2}$.
Ответ: $5^{\log_5 2}$

2) число 1/9 в виде степени числа 10;

Представим число $\frac{1}{9}$ в виде степени с основанием 10. Для этого найдем показатель степени $x$, удовлетворяющий уравнению $10^x = \frac{1}{9}$.
Согласно определению логарифма, $x = \log_{10} \frac{1}{9}$. Десятичный логарифм ($\log_{10}$) также обозначается как $\lg$.
Таким образом, искомое представление:
$\frac{1}{9} = 10^{\log_{10} \frac{1}{9}}$.
Ответ: $10^{\log_{10} \frac{1}{9}}$

3) число √14 в виде степени числа 7;

Чтобы представить число $\sqrt{14}$ в виде степени с основанием 7, найдем такой показатель $x$, что $7^x = \sqrt{14}$.
Из определения логарифма следует, что $x = \log_7 \sqrt{14}$.
Показатель степени можно также упростить, используя свойство логарифма степени: $\log_7 \sqrt{14} = \log_7 (14^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_7 14$. Однако, прямое применение определения уже дает ответ.
Таким образом, число $\sqrt{14}$ можно представить в виде:
$\sqrt{14} = 7^{\log_7 \sqrt{14}}$.
Ответ: $7^{\log_7 \sqrt{14}}$

4) число 0,17 в виде степени числа 18.

Представим число 0,17 в виде степени с основанием 18. Ищем показатель степени $x$ из уравнения $18^x = 0,17$.
По определению логарифма, $x = \log_{18} 0,17$.
Следовательно, искомое представление имеет вид:
$0,17 = 18^{\log_{18} 0,17}$.
Ответ: $18^{\log_{18} 0,17}$