Номер 4.20, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 4. Логарифм и его свойства. Упражнения - номер 4.20, страница 33.

Учебник.

4.20. Представьте:

1) число 4 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$;

2) число -2 в виде логарифма по основанию $\sqrt{2}$.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы представить число в виде логарифма по заданному основанию, можно воспользоваться основным логарифмическим тождеством, представленным в виде $c = \log_a(a^c)$.

В нашем случае, нужно представить число $c=4$ в виде логарифма по основанию $a = \frac{1}{3}$.

Подставим эти значения в формулу:

$4 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^4\right)$

Теперь необходимо вычислить значение выражения, стоящего под знаком логарифма:

$\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$

Следовательно, число 4 в виде логарифма по основанию $\frac{1}{3}$ будет выглядеть так:

$4 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{81}\right)$

Ответ: $\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{81}\right)$

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством $c = \log_a(a^c)$.

Здесь нам нужно представить число $c=-2$ в виде логарифма по основанию $a = \sqrt{2}$.

Подставим значения в формулу:

$-2 = \log_{\sqrt{2}}\left((\sqrt{2})^{-2}\right)$

Вычислим значение выражения под знаком логарифма:

$(\sqrt{2})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2}$

Таким образом, число -2 в виде логарифма по основанию $\sqrt{2}$ можно представить следующим образом:

$-2 = \log_{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}\right)$

Ответ: $\log_{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{2}\right)$