Номер 4.14, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.14, страница 33.

4.14. Вычислите:

1) $3^{\log_3 \frac{1}{27}}$;

2) $5^{\frac{1}{2}\log_5 49}$;

3) $4^{\log_2 9}$;

4) $\left(\frac{1}{9}\right)^{-2\log_3 12}$;

5) $10^{2 + \lg 8}$;

6) $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6 - 3}$.

1) $3^{\log_3 \frac{1}{27}}$

Для решения воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание степени $a = 3$ совпадает с основанием логарифма, а число под логарифмом $b = \frac{1}{27}$.

Подставим значения в формулу:

$3^{\log_3 \frac{1}{27}} = \frac{1}{27}$

Другой способ:

Сначала вычислим показатель степени $\log_3 \frac{1}{27}$. Так как $\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$, то $\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 3^{-3} = -3$.

Тогда исходное выражение равно $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$

2) $5^{\frac{1}{2}\log_5 49}$

Используем свойство логарифма $c \log_a b = \log_a b^c$. Преобразуем показатель степени, внеся множитель $\frac{1}{2}$ под знак логарифма в качестве степени числа 49:

$\frac{1}{2}\log_5 49 = \log_5 49^{\frac{1}{2}} = \log_5 \sqrt{49} = \log_5 7$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$5^{\log_5 7}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$5^{\log_5 7} = 7$

Ответ: 7

3) $4^{\log_2 9}$

Основание степени (4) и основание логарифма (2) различны. Приведем их к одному основанию. Запишем 4 как $2^2$.

$4^{\log_2 9} = (2^2)^{\log_2 9}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{2 \cdot \log_2 9}$

Теперь используем свойство логарифма $c \log_a b = \log_a b^c$ для показателя степени:

$2 \log_2 9 = \log_2 9^2 = \log_2 81$

Подставляем обратно в выражение:

$2^{\log_2 81}$

По основному логарифмическому тождеству, результат равен 81.

Ответ: 81

4) $(\frac{1}{9})^{-2\log_3 12}$

Преобразуем основание степени: $\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$.

Выражение принимает вид: $(3^{-2})^{-2\log_3 12}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, перемножаем показатели:

$3^{(-2) \cdot (-2\log_3 12)} = 3^{4\log_3 12}$

Применим свойство логарифма $c \log_a b = \log_a b^c$ к показателю:

$4\log_3 12 = \log_3 12^4$

Получаем выражение $3^{\log_3 12^4}$.

По основному логарифмическому тождеству, это равно $12^4$.

Вычислим $12^4$: $12^2 = 144$, $12^4 = 144^2 = 20736$.

Ответ: 20736

5) $10^{2 + \lg 8}$

Напомним, что $\lg 8$ это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 8$.

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$10^{2 + \log_{10} 8} = 10^2 \cdot 10^{\log_{10} 8}$

Вычислим каждый множитель:

$10^2 = 100$

$10^{\log_{10} 8} = 8$ (по основному логарифмическому тождеству).

Перемножим результаты: $100 \cdot 8 = 800$.

Ответ: 800

6) $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 6 - 3}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 6 - 3} = \frac{(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 6}}{(\frac{1}{2})^3}$

Вычислим числитель по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 6} = 6$

Вычислим знаменатель:

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{6}{\frac{1}{8}} = 6 \cdot 8 = 48$

Ответ: 48