Номер 4.21, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.21, страница 34.

4.21. Вычислите:

1) $2^{3\log_2 5 + 4}$;

2) $8^{1 - \log_2 3}$;

3) $\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_9 2 - 3}$;

4) $7^{2\log_7 3 + \log_{\sqrt{7}} 4}$;

5) $9^{2\log_3 2 + 4\log_{81} 2}$;

6) $2 \cdot 100^{\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2}$;

7) $\lg(25^{\log_5 0.8} + 9^{\log_3 0.6})$;

8) $27^{\frac{1}{\log_5 3}} + 25^{\frac{1}{\log_2 5}} - 36^{\frac{1}{\log_9 6}}$.

1)

Для решения используем свойства степеней и логарифмов: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$2^{3\log_2 5 + 4} = 2^{3\log_2 5} \cdot 2^4$

Преобразуем первый множитель:

$2^{3\log_2 5} = 2^{\log_2 5^3} = 2^{\log_2 125} = 125$

Теперь вычислим все выражение:

$125 \cdot 2^4 = 125 \cdot 16 = 2000$

Ответ: 2000

2)

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$. Также представим основание $8$ как степень $2$, т.е. $8=2^3$.

$8^{1 - \log_2 3} = \frac{8^1}{8^{\log_2 3}} = \frac{8}{(2^3)^{\log_2 3}}$

Упростим знаменатель, используя свойства $(a^m)^n = a^{mn}$ и $c \cdot \log_a b = \log_a (b^c)$:

$(2^3)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27}$

Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$2^{\log_2 27} = 27$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$

3)

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$. Представим основание $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$ и основание логарифма $9$ как $3^2$.

$(\frac{1}{3})^{\log_9 2 - 3} = \frac{(\frac{1}{3})^{\log_9 2}}{(\frac{1}{3})^3}$

Преобразуем числитель. Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_9 2 = \log_{3^2} 2 = \frac{1}{2}\log_3 2$

Тогда числитель равен:

$(\frac{1}{3})^{\log_9 2} = (3^{-1})^{\frac{1}{2}\log_3 2} = 3^{-\frac{1}{2}\log_3 2} = 3^{\log_3 2^{-1/2}} = 2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Вычислим знаменатель:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{1/\sqrt{2}}{1/27} = \frac{27}{\sqrt{2}} = \frac{27\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{27\sqrt{2}}{2}$

4)

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$7^{2\log_7 3 + \log_{\sqrt{7}} 4} = 7^{2\log_7 3} \cdot 7^{\log_{\sqrt{7}} 4}$

Упростим первый множитель:

$7^{2\log_7 3} = 7^{\log_7 3^2} = 7^{\log_7 9} = 9$

Упростим второй множитель. Используем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, где $\sqrt{7} = 7^{1/2}$:

$\log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{7^{1/2}} 4 = \frac{1}{1/2}\log_7 4 = 2\log_7 4 = \log_7 4^2 = \log_7 16$

Тогда второй множитель равен:

$7^{\log_7 16} = 16$

Перемножим результаты:

$9 \cdot 16 = 144$

Ответ: 144

5)

Сначала упростим показатель степени. Используем свойства логарифмов $c \log_a b = \log_a b^c$, $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$. Основания $9=3^2$ и $81=3^4$.

$2\log_3 2 + 4\log_{81} 2 = \log_3 2^2 + 4\log_{3^4} 2 = \log_3 4 + 4 \cdot \frac{1}{4}\log_3 2 = \log_3 4 + \log_3 2 = \log_3 (4 \cdot 2) = \log_3 8$

Теперь подставим упрощенный показатель в исходное выражение:

$9^{\log_3 8} = (3^2)^{\log_3 8} = 3^{2\log_3 8} = 3^{\log_3 8^2} = 3^{\log_3 64}$

По основному логарифмическому тождеству:

$3^{\log_3 64} = 64$

Ответ: 64

6)

Сначала упростим показатель степени у числа $100$. $\lg$ - это десятичный логарифм ($\log_{10}$). Используем свойства $c \lg b = \lg b^c$ и $\lg b - \lg c = \lg(b/c)$.

$\frac{1}{2}\lg 8 - 2\lg 2 = \lg 8^{1/2} - \lg 2^2 = \lg \sqrt{8} - \lg 4 = \lg(2\sqrt{2}) - \lg 4 = \lg(\frac{2\sqrt{2}}{4}) = \lg(\frac{\sqrt{2}}{2})$

Теперь вычислим степень. Основание $100 = 10^2$.

$100^{\lg(\frac{\sqrt{2}}{2})} = (10^2)^{\lg(\frac{\sqrt{2}}{2})} = 10^{2\lg(\frac{\sqrt{2}}{2})} = 10^{\lg((\frac{\sqrt{2}}{2})^2)} = 10^{\lg(\frac{2}{4})} = 10^{\lg(\frac{1}{2})}$

По основному логарифмическому тождеству $10^{\lg a} = a$:

$10^{\lg(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}$

Наконец, умножим результат на $2$:

$2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Ответ: 1

7)

Сначала вычислим выражение в скобках.

Для первого слагаемого $25^{\log_5 0.8}$, представим $25 = 5^2$:

$25^{\log_5 0.8} = (5^2)^{\log_5 0.8} = 5^{2\log_5 0.8} = 5^{\log_5 (0.8)^2} = 5^{\log_5 0.64} = 0.64$

Для второго слагаемого $9^{\log_3 0.6}$, представим $9 = 3^2$:

$9^{\log_3 0.6} = (3^2)^{\log_3 0.6} = 3^{2\log_3 0.6} = 3^{\log_3 (0.6)^2} = 3^{\log_3 0.36} = 0.36$

Теперь сложим полученные значения:

$0.64 + 0.36 = 1$

Подставим результат в исходное выражение:

$\lg(1) = \log_{10}(1) = 0$

Ответ: 0

8)

Для решения используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $27^{\frac{1}{\log_5 3}} = 27^{\log_3 5}$. Представим $27=3^3$:

$(3^3)^{\log_3 5} = 3^{3\log_3 5} = 3^{\log_3 5^3} = 3^{\log_3 125} = 125$

Второе слагаемое: $25^{\frac{1}{\log_2 5}} = 25^{\log_5 2}$. Представим $25=5^2$:

$(5^2)^{\log_5 2} = 5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4$

Третье слагаемое: $36^{\frac{1}{\log_9 6}} = 36^{\log_6 9}$. Представим $36=6^2$:

$(6^2)^{\log_6 9} = 6^{2\log_6 9} = 6^{\log_6 9^2} = 6^{\log_6 81} = 81$

Теперь выполним арифметические операции:

$125 + 4 - 81 = 129 - 81 = 48$

Ответ: 48