Номер 4.23, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.23, страница 34.

4.23. Вычислите:

1) $log_2 log_5 \sqrt[8]{5};$

2) $log_{\frac{2}{3}} log_{49} 343;$

3) $log_9 log_2 8;$

4) $log_2 \sin 135^{\circ};$

5) $log_3 \operatorname{tg} \frac{\pi}{3};$

6) $log_{\frac{1}{2}} \cos 315^{\circ};$

7) $log_4 \sin \frac{\pi}{4};$

8) $log_{\frac{1}{3}} \operatorname{tg} (-120^{\circ}).$

1) Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_5 \sqrt[8]{5}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}}$. Используя свойство логарифма $log_a a^x = x$, получаем: $log_5 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_2 (\frac{1}{8})$. Представим $\frac{1}{8}$ как степень числа 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$. Тогда $log_2 (2^{-3}) = -3$. Ответ: -3

2) Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_{49} 343$. Представим основание и аргумент логарифма как степени одного и того же числа, в данном случае 7: $49 = 7^2$ и $343 = 7^3$. Получаем: $log_{49} 343 = log_{7^2} 7^3$. Используя свойство логарифма $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$, имеем: $\frac{3}{2} log_7 7 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_{\frac{2}{3}} (\frac{3}{2})$. Заметим, что $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$. Следовательно, $log_{\frac{2}{3}} ((\frac{2}{3})^{-1}) = -1$. Ответ: -1

3) Сначала вычислим внутренний логарифм: $log_2 8$. Так как $8 = 2^3$, то $log_2 8 = log_2 2^3 = 3$. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_9 3$. Чтобы найти значение этого логарифма, представим основание 9 как степень числа 3: $9=3^2$. Тогда $log_9 3 = log_{3^2} 3^1 = \frac{1}{2} log_3 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Ответ: 1/2

4) Сначала найдем значение $sin 135^\circ$. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. $sin 135^\circ = sin(180^\circ - 45^\circ) = sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь вычислим логарифм: $log_2 (\frac{\sqrt{2}}{2})$. Преобразуем аргумент логарифма в степень с основанием 2: $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^1} = 2^{\frac{1}{2}-1} = 2^{-\frac{1}{2}}$. Тогда $log_2 (2^{-\frac{1}{2}}) = -\frac{1}{2}$. Ответ: -1/2

5) Сначала найдем значение $tg \frac{\pi}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ радиан равен $60^\circ$. $tg \frac{\pi}{3} = tg 60^\circ = \sqrt{3}$. Теперь вычислим логарифм: $log_3 (\sqrt{3})$. Представим $\sqrt{3}$ как степень числа 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Тогда $log_3 (3^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$. Ответ: 1/2

6) Сначала найдем значение $cos 315^\circ$. Угол $315^\circ$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен. $cos 315^\circ = cos(360^\circ - 45^\circ) = cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь вычислим логарифм: $log_{\frac{1}{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$. Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-\frac{1}{2}}$. Получаем $log_{2^{-1}} (2^{-\frac{1}{2}})$. Используя свойство $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$, имеем: $\frac{-\frac{1}{2}}{-1} log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Ответ: 1/2

7) Сначала найдем значение $sin \frac{\pi}{4}$. $sin \frac{\pi}{4} = sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Теперь вычислим логарифм: $log_4 (\frac{\sqrt{2}}{2})$. Представим основание и аргумент логарифма как степени числа 2: $4 = 2^2$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{-\frac{1}{2}}$. Получаем $log_{2^2} (2^{-\frac{1}{2}})$. Используя свойство $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$, имеем: $\frac{-\frac{1}{2}}{2} log_2 2 = -\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$. Ответ: -1/4

8) Сначала найдем значение $tg(-120^\circ)$. Тангенс - нечетная функция, поэтому $tg(-120^\circ) = -tg(120^\circ)$. Угол $120^\circ$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен: $tg(120^\circ) = tg(180^\circ - 60^\circ) = -tg(60^\circ) = -\sqrt{3}$. Следовательно, $tg(-120^\circ) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3}$. Теперь вычислим логарифм: $log_{\frac{1}{3}} (\sqrt{3})$. Представим основание и аргумент как степени числа 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$. Получаем $log_{3^{-1}} (3^{\frac{1}{2}})$. Используя свойство $log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} log_a b$, имеем: $\frac{\frac{1}{2}}{-1} log_3 3 = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$. Ответ: -1/2