Номер 4.24, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.24, страница 34.

4.24. Вычислите:

1) $\log_3 \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$;

2) $\log_{\frac{1}{3}} \log_4 64$;

3) $\log_6 \operatorname{tg} 225^\circ$;

4) $\log_{\sqrt{3}} \operatorname{tg} \frac{\pi}{6}$.

1) Вычислим значение выражения $log_3 \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$.
Решение проведем в два этапа. Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}$.
Обозначим его за $x$: $\log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125} = x$.
По определению логарифма, это равенство эквивалентно $(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{125}$.
Поскольку $125 = 5^3$, мы можем переписать правую часть как $\frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = (\frac{1}{5})^3$.
Таким образом, мы имеем уравнение $(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^3$.
Отсюда следует, что $x=3$.
Теперь подставим полученный результат в исходное выражение: $log_3 3$.
По основному свойству логарифмов, $log_a a = 1$.
Следовательно, $log_3 3 = 1$.
Ответ: 1

2) Вычислим значение выражения $log_{\frac{1}{3}} \log_4 64$.
Сначала вычислим внутренний логарифм $\log_4 64$.
Обозначим $\log_4 64 = y$.
По определению логарифма, $4^y = 64$.
Так как $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$, получаем уравнение $4^y = 4^3$.
Отсюда $y=3$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение: $log_{\frac{1}{3}} 3$.
Обозначим $log_{\frac{1}{3}} 3 = z$.
По определению логарифма, $(\frac{1}{3})^z = 3$.
Поскольку $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, мы можем переписать левую часть как $(3^{-1})^z = 3^{-z}$.
Получаем уравнение $3^{-z} = 3^1$.
Приравнивая показатели степени, получаем $-z = 1$, откуда $z = -1$.
Ответ: -1

3) Вычислим значение выражения $\log_6 \tg 225^\circ$.
Сначала найдем значение $\tg 225^\circ$.
Угол $225^\circ$ находится в третьей четверти. Мы можем использовать формулу приведения: $\tg(180^\circ + \alpha) = \tg \alpha$.
$\tg 225^\circ = \tg(180^\circ + 45^\circ) = \tg 45^\circ$.
Из таблицы тригонометрических значений известно, что $\tg 45^\circ = 1$.
Теперь подставим это значение в логарифм: $\log_6 1$.
По свойству логарифма, логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю: $log_a 1 = 0$.
Следовательно, $\log_6 1 = 0$.
Ответ: 0

4) Вычислим значение выражения $\log_{\sqrt{3}} \tg \frac{\pi}{6}$.
Сначала найдем значение $\tg \frac{\pi}{6}$.
Угол $\frac{\pi}{6}$ радиан равен $30^\circ$.
Значение тангенса этого угла равно $\tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Теперь подставим найденное значение в исходное выражение: $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Используя свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$, мы можем переписать $\frac{1}{\sqrt{3}}$ как $(\sqrt{3})^{-1}$.
Таким образом, выражение принимает вид $\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^{-1}$.
Используя свойство логарифма $\log_a a^p = p$, получаем:
$\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^{-1} = -1$.
Ответ: -1