Номер 4.26, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.26, страница 34.

4.26. Найдите x, если:

1) $ \log_a x = 3\log_a 2 + 2\log_a 3; $

2) $ \log_a x = \frac{1}{4}\log_a 16 + 3\log_a 0,5; $

3) $ \lg x = \frac{2}{5}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 64 + 1. $

1) Для решения уравнения $ \log_a x = 3\log_a 2 + 2\log_a 3 $ воспользуемся свойствами логарифмов.

Используем свойство степени логарифма $ n \cdot \log_b c = \log_b (c^n) $:
$ 3\log_a 2 = \log_a (2^3) = \log_a 8 $
$ 2\log_a 3 = \log_a (3^2) = \log_a 9 $

Подставим полученные значения в исходное уравнение:
$ \log_a x = \log_a 8 + \log_a 9 $

Теперь используем свойство суммы логарифмов $ \log_b c + \log_b d = \log_b (c \cdot d) $:
$ \log_a x = \log_a (8 \cdot 9) $
$ \log_a x = \log_a 72 $

Так как основания логарифмов равны, то равны и их аргументы:
$ x = 72 $

Ответ: $x = 72$.

2) Решим уравнение $ \log_a x = \frac{1}{4}\log_a 16 + 3\log_a 0,5 $.

Применим свойство степени логарифма $ n \cdot \log_b c = \log_b (c^n) $:
$ \frac{1}{4}\log_a 16 = \log_a (16^{\frac{1}{4}}) = \log_a (\sqrt[4]{16}) = \log_a 2 $
$ 3\log_a 0,5 = \log_a (0,5^3) = \log_a ((\frac{1}{2})^3) = \log_a (\frac{1}{8}) $

Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$ \log_a x = \log_a 2 + \log_a (\frac{1}{8}) $

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_b c + \log_b d = \log_b (c \cdot d) $:
$ \log_a x = \log_a (2 \cdot \frac{1}{8}) $
$ \log_a x = \log_a (\frac{2}{8}) = \log_a (\frac{1}{4}) $

Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:
$ x = \frac{1}{4} = 0,25 $

Ответ: $x = 0,25$.

3) Решим уравнение $ \lg x = \frac{2}{5}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 64 + 1 $.

Напомним, что $ \lg $ — это десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов.

Применим свойство степени логарифма $ n \cdot \log_b c = \log_b (c^n) $:
$ \frac{2}{5}\lg 32 = \lg (32^{\frac{2}{5}}) = \lg ((2^5)^{\frac{2}{5}}) = \lg (2^2) = \lg 4 $
$ \frac{1}{3}\lg 64 = \lg (64^{\frac{1}{3}}) = \lg (\sqrt[3]{64}) = \lg 4 $

Представим 1 в виде десятичного логарифма: $ 1 = \lg 10 $.

Подставим все в исходное уравнение:
$ \lg x = \lg 4 - \lg 4 + \lg 10 $

Упростим выражение:
$ \lg x = 0 + \lg 10 $
$ \lg x = \lg 10 $

Так как основания логарифмов равны, то равны и их аргументы:
$ x = 10 $

Ответ: $x = 10$.