Номер 4.25, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.25, страница 34.

4.25. Найдите x, если:

1) $\log_7 x = 2\log_7 8 - 4\log_7 2$;

2) $\lg x = 2 + \lg 3 - \lg 5$;

3) $\log_3 x = \frac{2}{3}\log_3 216 + \frac{1}{2}\log_3 25$;

4) $\lg x = \frac{2}{3}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 128 + 1$;

5) $\log_2 x = 3\log_2 5 - 2\log_2 25 - \lg 10$.

1) Дано уравнение $\log_7 x = 2\log_7 8 - 4\log_7 2$.
Для решения используем свойства логарифмов. Сначала применим свойство степени логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2\log_7 8 = \log_7(8^2) = \log_7 64$
$4\log_7 2 = \log_7(2^4) = \log_7 16$
Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$\log_7 x = \log_7 64 - \log_7 16$
Теперь используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_7 x = \log_7(64/16)$
$\log_7 x = \log_7 4$
Из равенства логарифмов по одному основанию следует равенство их аргументов:
$x = 4$
Ответ: $x=4$.

2) Дано уравнение $\lg x = 2 + \lg 3 - \lg 5$.
Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).
Представим число 2 в виде десятичного логарифма, используя тот факт, что $\lg 10 = 1$:
$2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \lg 10 = \lg(10^2) = \lg 100$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\lg x = \lg 100 + \lg 3 - \lg 5$
Применим свойства суммы и разности логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ и $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$.
$\lg x = \lg(100 \cdot 3) - \lg 5$
$\lg x = \lg 300 - \lg 5$
$\lg x = \lg(300/5)$
$\lg x = \lg 60$
Следовательно, $x = 60$.
Ответ: $x=60$.

3) Дано уравнение $\log_3 x = \frac{2}{3}\log_3 216 + \frac{1}{2}\log_3 25$.
Применим свойство степени логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a(b^k)$:
$\frac{2}{3}\log_3 216 = \log_3(216^{2/3})$
$\frac{1}{2}\log_3 25 = \log_3(25^{1/2})$
Вычислим значения степеней:
$216^{2/3} = (\sqrt[3]{216})^2 = 6^2 = 36$
$25^{1/2} = \sqrt{25} = 5$
Подставим результаты в уравнение:
$\log_3 x = \log_3 36 + \log_3 5$
Теперь используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:
$\log_3 x = \log_3(36 \cdot 5)$
$\log_3 x = \log_3 180$
Следовательно, $x = 180$.
Ответ: $x=180$.

4) Дано уравнение $\lg x = \frac{2}{3}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 128 + 1$.
Представим 1 в виде десятичного логарифма: $1 = \lg 10$.
$\lg x = \frac{2}{3}\lg 32 - \frac{1}{3}\lg 128 + \lg 10$
Применим свойство степени логарифма:
$\lg x = \lg(32^{2/3}) - \lg(128^{1/3}) + \lg 10$
Представим 32 и 128 как степени двойки ($32 = 2^5$, $128 = 2^7$) для упрощения:
$32^{2/3} = (2^5)^{2/3} = 2^{10/3}$
$128^{1/3} = (2^7)^{1/3} = 2^{7/3}$
Подставим обратно в уравнение:
$\lg x = \lg(2^{10/3}) - \lg(2^{7/3}) + \lg 10$
Объединим логарифмы, используя свойства разности и суммы:
$\lg x = \lg \left( \frac{2^{10/3}}{2^{7/3}} \cdot 10 \right)$
Упростим выражение в скобках. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$\frac{2^{10/3}}{2^{7/3}} = 2^{10/3 - 7/3} = 2^{3/3} = 2^1 = 2$
$\lg x = \lg(2 \cdot 10)$
$\lg x = \lg 20$
Следовательно, $x = 20$.
Ответ: $x=20$.

5) Дано уравнение $\log_2 x = 3\log_2 5 - 2\log_2 25 - \lg 10$.
Упростим последний член: $\lg 10 = \log_{10} 10 = 1$.
Уравнение принимает вид:
$\log_2 x = 3\log_2 5 - 2\log_2 25 - 1$
Применим свойство степени логарифма:
$\log_2 x = \log_2(5^3) - \log_2(25^2) - 1$
$\log_2 x = \log_2 125 - \log_2 625 - 1$
Представим 1 в виде логарифма по основанию 2: $1 = \log_2 2$.
$\log_2 x = \log_2 125 - \log_2 625 - \log_2 2$
Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{125}{625}\right) - \log_2 2$
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{1}{5}\right) - \log_2 2$
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{1/5}{2}\right)$
$\log_2 x = \log_2\left(\frac{1}{10}\right)$
Следовательно, $x = \frac{1}{10}$.
Ответ: $x=\frac{1}{10}$.