Номер 4.31, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.31. Вычислите значение выражения $5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} + \frac{1}{2}\log_5 4} + 36\log_2 \sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$.

Для вычисления значения выражения, разобьем его на два слагаемых и упростим каждое из них по отдельности.

1. Упрощение первого слагаемого: $5^{\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} + \frac{1}{2}\log_5 4}$

Выражение в степени является суммой двух членов. Преобразуем каждый из них.

Сначала преобразуем первый член показателя степени $\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5}$, используя формулу замены основания логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} = 4 \cdot \log_5 \sqrt{3}$

Используя свойство логарифма $n\log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$4 \log_5 \sqrt{3} = \log_5 ((\sqrt{3})^4) = \log_5 (3^{1/2})^4 = \log_5 3^2 = \log_5 9$

Теперь преобразуем второй член показателя степени $\frac{1}{2}\log_5 4$, используя то же свойство:

$\frac{1}{2}\log_5 4 = \log_5 (4^{1/2}) = \log_5 \sqrt{4} = \log_5 2$

Теперь сложим полученные выражения, чтобы найти полный показатель степени, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_5 9 + \log_5 2 = \log_5(9 \cdot 2) = \log_5 18$

Подставим полученный показатель степени в первое слагаемое и используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$5^{\log_5 18} = 18$

Таким образом, первое слагаемое равно 18.

2. Упрощение второго слагаемого: $36^{\log_2 \sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}}$

Сначала упростим показатель степени $\log_2 \sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}}$, начав с выражения под знаком логарифма.

Представим вложенные корни в виде степеней и упростим:

$\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2}} = (2^1 \cdot 2^{1/3})^{1/4}$

Используя свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(2^{1 + 1/3})^{1/4} = (2^{4/3})^{1/4}$

Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4}} = 2^{1/3}$

Теперь, когда аргумент логарифма упрощен, мы можем вычислить значение показателя степени:

$\log_2(2^{1/3}) = \frac{1}{3}$

Подставим это значение в наше второе слагаемое:

$36^{1/3} = \sqrt[3]{36}$

Таким образом, второе слагаемое равно $\sqrt[3]{36}$.

3. Вычисление итогового значения

Сложим значения первого и второго слагаемых, чтобы получить окончательный ответ:

$18 + \sqrt[3]{36}$

Ответ: $18 + \sqrt[3]{36}$