Номер 4.28, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.28, страница 35.

4.28. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3 \lg 4 + \lg 0.5}{\lg 9 - \lg 18}$;

2) $\frac{\lg 625 - 8 \lg 2}{\frac{1}{2} \lg 256 - 2 \lg 5}$.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{3\lg 4 + \lg 0.5}{\lg 9 - \lg 18}$ воспользуемся следующими свойствами десятичного логарифма ($\lg x = \log_{10} x$):

• Свойство степени: $n \cdot \lg b = \lg(b^n)$
• Сумма логарифмов: $\lg b + \lg c = \lg(b \cdot c)$
• Разность логарифмов: $\lg b - \lg c = \lg(\frac{b}{c})$

Сначала преобразуем числитель дроби, используя свойство степени и свойство суммы логарифмов:

$3\lg 4 + \lg 0.5 = \lg(4^3) + \lg 0.5 = \lg 64 + \lg 0.5 = \lg(64 \cdot 0.5) = \lg 32$

Далее преобразуем знаменатель, используя свойство разности логарифмов:

$\lg 9 - \lg 18 = \lg(\frac{9}{18}) = \lg(\frac{1}{2}) = \lg 0.5$

Теперь подставим полученные значения обратно в дробь:

$\frac{\lg 32}{\lg 0.5}$

Чтобы упростить это выражение, представим числа 32 и 0.5 в виде степеней одного и того же основания, например, 2. Мы знаем, что $32 = 2^5$ и $0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$\frac{\lg(2^5)}{\lg(2^{-1})}$

Применим свойство степени логарифма еще раз:

$\frac{5 \cdot \lg 2}{-1 \cdot \lg 2}$

Сокращаем общий множитель $\lg 2$:

$\frac{5}{-1} = -5$

Ответ: -5

2) Для нахождения значения выражения $\frac{\lg 625 - 8\lg 2}{\frac{1}{2}\lg 256 - 2\lg 5}$ будем использовать те же свойства логарифмов. Целесообразно привести все логарифмы к логарифмам от простых чисел, в данном случае это 2 и 5.

Преобразуем числитель. Учтем, что $625 = 5^4$.

$\lg 625 - 8\lg 2 = \lg(5^4) - 8\lg 2 = 4\lg 5 - 8\lg 2$

Вынесем общий множитель 4 за скобки:

$4(\lg 5 - 2\lg 2)$

Теперь преобразуем знаменатель. Учтем, что $256 = 2^8$.

$\frac{1}{2}\lg 256 - 2\lg 5 = \frac{1}{2}\lg(2^8) - 2\lg 5 = \frac{1}{2} \cdot 8\lg 2 - 2\lg 5 = 4\lg 2 - 2\lg 5$

Вынесем общий множитель -2 за скобки, чтобы получить выражение, аналогичное тому, что в числителе:

$-2(-2\lg 2 + \lg 5) = -2(\lg 5 - 2\lg 2)$

Теперь подставим преобразованные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:

$\frac{4(\lg 5 - 2\lg 2)}{-2(\lg 5 - 2\lg 2)}$

Сократим общий множитель $(\lg 5 - 2\lg 2)$, так как он не равен нулю ($\lg 5 - 2\lg 2 = \lg 5 - \lg 4 = \lg(5/4) \neq 0$):

$\frac{4}{-2} = -2$

Ответ: -2