Номер 4.37, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 4. Логарифм и его свойства. Упражнения - номер 4.37, страница 35.

Учебник.

4.37. При каких значениях $x$ верно равенство:

1) $ \log_2 (1 - x^2) = \log_2 (1 - x) + \log_2 (1 + x); $

2) $ \lg \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \lg (x^2 - 2x + 1) - \lg (x^2 + 1); $

3) $ \log_5 (x^2 - 4x + 4) = 2\log_5 (2 - x); $

4) $ \log_5 (x^2 - 4x + 4) = 2\log_5 |x - 2|? $

Решение.

Решение 2.

1) Данное равенство $\log_2(1 - x^2) = \log_2(1 - x) + \log_2(1 + x)$ основано на свойстве логарифма суммы: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$. Применяя это свойство к правой части, получаем:

$\log_2(1 - x) + \log_2(1 + x) = \log_2((1 - x)(1 + x)) = \log_2(1 - x^2)$.

Таким образом, равенство является тождеством, и оно будет верным для всех значений $x$, при которых все логарифмические выражения в исходном уравнении имеют смысл. Это область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент каждого логарифма должен быть строго больше нуля.

Составим систему неравенств для нахождения ОДЗ: $$ \begin{cases} 1 - x^2 > 0 \\ 1 - x > 0 \\ 1 + x > 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство:

1. $1 - x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$.

2. $1 - x > 0 \implies x < 1$.

3. $1 + x > 0 \implies x > -1$.

Пересечением всех трех условий является интервал $(-1, 1)$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

2) Данное равенство $\lg\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} = \lg(x^2 - 2x + 1) - \lg(x^2 + 1)$ основано на свойстве логарифма частного: $\log_a(b/c) = \log_a(b) - \log_a(c)$. Равенство является тождеством и будет верным для всех $x$, при которых все логарифмические выражения определены.

Найдем ОДЗ, составив систему неравенств: $$ \begin{cases} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1} > 0 \\ x^2 - 2x + 1 > 0 \\ x^2 + 1 > 0 \end{cases} $$

Рассмотрим каждое неравенство:

1. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом действительном $x$, так как $x^2 \ge 0$.

2. Выражение $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом: $(x - 1)^2$. Неравенство $x^2 - 2x + 1 > 0$ принимает вид $(x - 1)^2 > 0$. Квадрат любого числа, кроме нуля, положителен. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = 1$.

3. Неравенство $\frac{(x - 1)^2}{x^2 + 1} > 0$ эквивалентно неравенству $(x - 1)^2 > 0$, так как знаменатель всегда положителен. Его решение также $x \ne 1$.

Таким образом, ОДЗ определяется условием $x \ne 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

3) Рассмотрим равенство $\log_5(x^2 - 4x + 4) = 2\log_5(2 - x)$.

Свойство степени логарифма $n\log_a(b) = \log_a(b^n)$ справедливо только при $b > 0$. Левая часть уравнения $\log_5(x^2 - 4x + 4)$ может быть записана как $\log_5((x - 2)^2)$ или $\log_5((2 - x)^2)$. Правая часть может быть записана как $\log_5((2 - x)^2)$.

Равенство является тождеством, если все входящие в него выражения определены. Найдем ОДЗ исходного уравнения: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 > 0 \\ 2 - x > 0 \end{cases} $$

Решим систему:

1. $x^2 - 4x + 4 > 0 \implies (x - 2)^2 > 0$. Это верно для всех $x$, кроме $x = 2$.

2. $2 - x > 0 \implies x < 2$.

Объединяя условия $x \ne 2$ и $x < 2$, получаем, что равенство верно при $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

4) Рассмотрим равенство $\log_5(x^2 - 4x + 4) = 2\log_5|x - 2|$.

Преобразуем обе части уравнения, используя свойства логарифмов.

Левая часть: $\log_5(x^2 - 4x + 4) = \log_5((x - 2)^2)$.

Правая часть: $2\log_5|x - 2| = \log_5(|x - 2|^2)$. Так как $|a|^2 = a^2$, то $|x - 2|^2 = (x - 2)^2$. Таким образом, правая часть равна $\log_5((x - 2)^2)$.

Мы получили тождество $\log_5((x - 2)^2) = \log_5((x - 2)^2)$. Оно будет верным для всех $x$ из области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения.

Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x^2 - 4x + 4 > 0 \\ |x - 2| > 0 \end{cases} $$

Решим систему:

1. $x^2 - 4x + 4 > 0 \implies (x - 2)^2 > 0$. Это верно для всех $x$, кроме $x = 2$.

2. $|x - 2| > 0$. Модуль числа больше нуля для любого числа, кроме нуля. Значит, $x - 2 \ne 0 \implies x \ne 2$.

Оба условия совпадают и требуют, чтобы $x \ne 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.