Номер 4.42, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.42, страница 36.

4.42. Постройте график функции:

1) $y = 7^{\log_7 (x+2)}$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}} (x-1)}$;

3) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 x^2}$;

4) $y = \log_x x$;

5) $y = \frac{\lg(x^2+1)}{\lg(x^2+1)}$;

6) $y = x^{\log_x 2x}$;

7) $y = \log_3 \log_{x+1} (x+1)^{27}$;

8) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x-2) \cdot \log_{x-2} 3$;

1) Исходная функция: $y = 7^{\log_7(x+2)}$.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+2 > 0$, откуда $x > -2$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упростим функцию: $y = x+2$.

Таким образом, график функции — это часть прямой $y=x+2$, для которой выполняется условие $x > -2$. Это луч с выколотой начальной точкой. Найдем координаты этой точки, подставив $x=-2$ в уравнение прямой: $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$ выколота.

Ответ: Графиком функции является луч, заданный уравнением $y = x+2$, с выколотой начальной точкой $(-2, 0)$.

2) Исходная функция: $y = \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{\frac{1}{3}}(x-1)}$.

Область определения функции: аргумент логарифма $x-1$ должен быть больше нуля, то есть $x-1 > 0$, откуда $x > 1$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем $y = x-1$.

График функции — это часть прямой $y=x-1$ при $x > 1$. Это луч с выколотой начальной точкой. Координаты начальной точки: $x=1$, $y=1-1=0$. Точка $(1, 0)$ выколота.

Ответ: Графиком функции является луч $y = x-1$ с выколотой начальной точкой $(1, 0)$.

3) Исходная функция: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 x^2}$.

Область определения: аргумент логарифма $x^2$ должен быть строго положителен: $x^2 > 0$, что выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Таким образом, ОДЗ: $x \neq 0$.

Преобразуем функцию, используя свойства степеней и логарифмов: $y = \left(2^{-1}\right)^{\log_2 x^2} = 2^{-\log_2 x^2} = 2^{\log_2 (x^2)^{-1}} = (x^2)^{-1} = \frac{1}{x^2}$.

График функции — это гипербола $y = \frac{1}{x^2}$, которая определена для всех $x$, кроме $x=0$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси OY. Ветви графика находятся в первом и втором координатных квадрантах, асимптотически приближаясь к осям координат.

Ответ: График функции — это график $y=\frac{1}{x^2}$ с областью определения $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

4) Исходная функция: $y = \log_x x$.

Область определения логарифма $\log_b a$ требует выполнения условий: $a > 0$ (аргумент больше нуля), $b > 0$ (основание больше нуля) и $b \neq 1$ (основание не равно единице). В нашем случае $a=x$ и $b=x$. Получаем систему условий: $\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

По свойству логарифма $\log_b b = 1$, функция упрощается до $y=1$.

График функции — это горизонтальная прямая $y=1$, из которой удалены все точки, не входящие в ОДЗ. То есть это два луча: один на интервале $(0, 1)$, другой на интервале $(1, +\infty)$. На графике будет выколота точка $(1, 1)$, и он будет начинаться от оси OY (не включая ее).

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$ с выколотой точкой $(1, 1)$, определенная для $x > 0$.

5) Исходная функция: $y = \frac{\lg(x^2+1)}{\lg(x^2+1)}$.

Область определения: 1. Аргумент логарифма должен быть положителен: $x^2+1 > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, это неравенство выполняется для любого действительного $x$. 2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\lg(x^2+1) \neq 0$. Это означает $x^2+1 \neq 10^0$, то есть $x^2+1 \neq 1$, откуда $x^2 \neq 0$, следовательно $x \neq 0$. ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

На всей области определения числитель и знаменатель равны и не равны нулю, поэтому дробь можно сократить: $y=1$.

График функции — это горизонтальная прямая $y=1$ с выколотой точкой при $x=0$. Координаты выколотой точки — $(0, 1)$.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотой точкой $(0, 1)$.

6) Исходная функция: $y = x^{\log_x 2x}$.

Область определения определяется выражением в показателе степени, то есть логарифмом $\log_x 2x$. 1. Аргумент логарифма: $2x > 0 \implies x > 0$. 2. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, упрощаем функцию: $y = 2x$.

График функции — это часть прямой $y=2x$, определенная на ОДЗ. Это луч, начинающийся в точке $(0, 0)$ (выколота), с выколотой точкой при $x=1$. Координаты второй выколотой точки: $y = 2 \cdot 1 = 2$. Точка $(1, 2)$ выколота.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x$, определенная на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$, то есть с выколотыми точками $(0,0)$ и $(1,2)$.

7) Исходная функция: $y = \log_3 \log_{x+1} (x+1)^{27}$.

Найдем ОДЗ. Она определяется вложенным логарифмом $\log_{x+1} (x+1)^{27}$. 1. Основание: $x+1 > 0$ и $x+1 \neq 1$, то есть $x > -1$ и $x \neq 0$. 2. Аргумент: $(x+1)^{27} > 0$, что эквивалентно $x+1 > 0$, или $x > -1$. Также аргумент внешнего логарифма $\log_3(\dots)$ должен быть положителен. Упростим внутренний логарифм по свойству $\log_b b^c = c$: $\log_{x+1} (x+1)^{27} = 27$. Так как $27 > 0$, это условие выполнено. Итоговая ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Подставим упрощенное выражение в исходную функцию: $y = \log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$.

График функции — это горизонтальная прямая $y=3$, определенная на ОДЗ. Это луч, начинающийся от $x=-1$ (не включая) с выколотой точкой при $x=0$. Выколотые точки имеют координаты $(-1, 3)$ и $(0, 3)$.

Ответ: Графиком является прямая $y=3$, определенная на множестве $(-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

8) Исходная функция: $y = \log_{\frac{1}{3}}(x-2) \cdot \log_{x-2} \frac{1}{3}$.

Найдем ОДЗ. Для $\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$ требуется $x-2 > 0 \implies x > 2$. Для $\log_{x-2} \frac{1}{3}$ требуется, чтобы основание $x-2$ было положительным и не равнялось единице: $x-2 > 0$ и $x-2 \neq 1$, что дает $x > 2$ и $x \neq 3$. ОДЗ: $x \in (2, 3) \cup (3, +\infty)$.

Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$. Тогда $\log_{x-2} \frac{1}{3} = \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}(x-2)}$. Подставим это в функцию: $y = \log_{\frac{1}{3}}(x-2) \cdot \frac{1}{\log_{\frac{1}{3}}(x-2)}$. На всей ОДЗ $\log_{\frac{1}{3}}(x-2)$ не равен нулю, так как $x-2 \neq 1$. Поэтому можно сократить дробь: $y=1$.

График функции — это горизонтальная прямая $y=1$, определенная на ОДЗ. Это луч, начинающийся от $x=2$ (не включая) с выколотой точкой при $x=3$. Координаты выколотых точек: $(2, 1)$ и $(3, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=1$, определенная на множестве $(2, 3) \cup (3, +\infty)$.