Номер 4.18, страница 33 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 4. Логарифм и его свойства. Упражнения - номер 4.18, страница 33.

Учебник.

4.18. Представьте:

1) число 3 в виде степени числа 8;

2) число $\sqrt[3]{6}$ в виде степени числа $\frac{1}{2}$.

Решение.

Решение 2.

1) число 3 в виде степени числа 8;
Чтобы представить число 3 в виде степени числа 8, необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $8^x = 3$.
По определению логарифма, показатель степени $x$, в которую нужно возвести основание 8, чтобы получить число 3, называется логарифмом числа 3 по основанию 8.
Это записывается как $x = \log_{8}3$.
Подставляя это значение $x$ в исходное уравнение, получаем искомое представление:
$3 = 8^{\log_{8}3}$.
Ответ: $8^{\log_{8}3}$.

2) число $\sqrt[3]{6}$ в виде степени числа $\frac{1}{2}$.
Чтобы представить число $\sqrt[3]{6}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$, нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $(\frac{1}{2})^x = \sqrt[3]{6}$.
По определению логарифма, показатель степени $x$ равен логарифму числа $\sqrt[3]{6}$ по основанию $\frac{1}{2}$:
$x = \log_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{6}$.
Следовательно, $\sqrt[3]{6} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{6}}$.
Данное выражение можно упростить. Преобразуем показатель степени, используя свойства логарифмов. Для этого представим основание логарифма и его аргумент в виде степеней с основанием 2:
$\frac{1}{2} = 2^{-1}$
$\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}}$
Тогда показатель степени $x$ можно переписать в виде:
$x = \log_{2^{-1}}(6^{\frac{1}{3}})$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^p}(b^q) = \frac{q}{p}\log_a b$, получаем:
$x = \frac{1/3}{-1} \log_2 6 = -\frac{1}{3}\log_2 6$.
Таким образом, искомое представление в упрощенном виде:
$\sqrt[3]{6} = (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}\log_2 6}$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{3}\log_2 6}$.