Номер 4.12, страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 4. Логарифм и его свойства. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 4.12, страница 32.

4.12. Решите уравнение:

1) $3^x = 2;$

2) $10^x = \frac{1}{6};$

3) $7^x + 5 = 9;$

4) $0,6^{5x - 2} = 20.$

1) Дано показательное уравнение $3^x = 2$. По определению логарифма, если $a^x = b$ (где $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$), то $x = \log_a b$. В данном уравнении основание $a = 3$, а число $b = 2$. Применяя определение логарифма, находим $x$.
$x = \log_3 2$.
Ответ: $x = \log_3 2$.

2) Дано показательное уравнение $10^x = \frac{1}{6}$. По определению логарифма, $x = \log_{10} \frac{1}{6}$. Логарифм с основанием 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как $\lg$. Таким образом, $x = \lg \frac{1}{6}$. Используя свойство логарифма $\log_a \frac{1}{c} = -\log_a c$, можно упростить выражение:
$x = \lg(6^{-1}) = -\lg 6$.
Ответ: $x = -\lg 6$.

3) Дано уравнение $7^x + 5 = 9$. Сначала изолируем показательное выражение $7^x$. Для этого перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$7^x = 9 - 5$
$7^x = 4$
Теперь мы получили простое показательное уравнение вида $a^x = b$. Применяя определение логарифма, находим $x$:
$x = \log_7 4$.
Ответ: $x = \log_7 4$.

4) Дано уравнение $0,6^{5x - 2} = 20$. Это показательное уравнение, где в показателе степени находится выражение $5x - 2$. По определению логарифма, показатель степени равен логарифму правой части по основанию степени:
$5x - 2 = \log_{0,6} 20$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала перенесем -2 в правую часть:
$5x = \log_{0,6} 20 + 2$
Затем разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{\log_{0,6} 20 + 2}{5}$.
Ответ: $x = \frac{\log_{0,6} 20 + 2}{5}$.