Страница 32 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.3. Найдите логарифм по основанию 3 числа:

1) $3$;

2) $\frac{1}{3}$;

3) $1$;

4) $81$;

5) $\frac{1}{9}$;

6) $\frac{1}{243}$;

7) $\sqrt{3}$;

8) $3\sqrt{3}$.

1) По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $ \log_a b $) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, $ \log_3 3 $ — это такая степень $c$, что $ 3^c = 3 $. Очевидно, что $ 3^1 = 3 $. Следовательно, искомый логарифм равен 1.

Ответ: 1

2) Нам нужно найти $ \log_3 \left(\frac{1}{3}\right) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = \frac{1}{3} $. Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, мы можем записать $ \frac{1}{3} $ как $ 3^{-1} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{-1} $, откуда $ c = -1 $.

Ответ: -1

3) Нам нужно найти $ \log_3 1 $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = 1 $. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, то есть $ a^0 = 1 $. Значит, $ 3^0 = 1 $, и $ c = 0 $.

Ответ: 0

4) Нам нужно найти $ \log_3 81 $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = 81 $. Представим число 81 как степень с основанием 3: $ 81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4 $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^4 $, откуда $ c = 4 $.

Ответ: 4

5) Нам нужно найти $ \log_3 \left(\frac{1}{9}\right) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = \frac{1}{9} $. Сначала представим 9 как степень числа 3: $ 9 = 3^2 $. Тогда $ \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{-2} $, откуда $ c = -2 $.

Ответ: -2

6) Нам нужно найти $ \log_3 \left(\frac{1}{243}\right) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = \frac{1}{243} $. Представим число 243 как степень с основанием 3. Мы знаем, что $ 3^4 = 81 $, тогда $ 3^5 = 81 \cdot 3 = 243 $. Следовательно, $ \frac{1}{243} = \frac{1}{3^5} = 3^{-5} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{-5} $, откуда $ c = -5 $.

Ответ: -5

7) Нам нужно найти $ \log_3 (\sqrt{3}) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = \sqrt{3} $. Используя свойство, что корень можно представить в виде степени с дробным показателем $ \sqrt[n]{a} = a^{1/n} $, получаем $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{1/2} $, откуда $ c = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

8) Нам нужно найти $ \log_3 (3\sqrt{3}) $. Для этого найдем показатель степени $c$, такой что $ 3^c = 3\sqrt{3} $. Представим выражение $ 3\sqrt{3} $ в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $ 3 = 3^1 $ и $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получаем: $ 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} $. Получаем уравнение $ 3^c = 3^{3/2} $, откуда $ c = \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $

4.4. Найдите логарифм по основанию $\frac{1}{2}$ числа:

1) 1;

3) 8;

5) $\frac{1}{16}$;

7) $\sqrt{2}$;

2) 2;

4) 0,25;

6) $\frac{1}{\sqrt{2}};

8) 64.

1)По определению логарифма, $ \log_{1/2}{1} $ — это степень, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{2} $, чтобы получить 1. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.Следовательно, $ (\frac{1}{2})^0 = 1 $.Таким образом, $ \log_{1/2}{1} = 0 $.
Ответ: 0

2)Найдем $ \log_{1/2}{2} $. Обозначим искомое значение как $x$.$ \log_{1/2}{2} = x $По определению логарифма:$ (\frac{1}{2})^x = 2 $Представим $ \frac{1}{2} $ как $ 2^{-1} $:$ (2^{-1})^x = 2^1 $$ 2^{-x} = 2^1 $Приравниваем показатели степеней:$ -x = 1 $, откуда $ x = -1 $.
Ответ: -1

3)Найдем $ \log_{1/2}{8} $. Пусть $ \log_{1/2}{8} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = 8 $Представим обе части уравнения как степени числа 2. Мы знаем, что $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $ и $ 8 = 2^3 $.$ (2^{-1})^x = 2^3 $$ 2^{-x} = 2^3 $Отсюда $ -x = 3 $, то есть $ x = -3 $.
Ответ: -3

4)Найдем $ \log_{1/2}{0,25} $. Пусть $ \log_{1/2}{0,25} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = 0,25 $Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} $.$ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{4} $Так как $ \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2 $, то:$ (\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^2 $Следовательно, $ x = 2 $.
Ответ: 2

5)Найдем $ \log_{1/2}{\frac{1}{16}} $. Пусть $ \log_{1/2}{\frac{1}{16}} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{16} $Поскольку $ 16 = 2^4 $, то $ \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4 $.$ (\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^4 $Следовательно, $ x = 4 $.
Ответ: 4

6)Найдем $ \log_{1/2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} $. Пусть $ \log_{1/2}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = \frac{1}{\sqrt{2}} $Представим $ \sqrt{2} $ как степень числа 2: $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $. Тогда $ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-1/2} $.Также представим основание логарифма как степень 2: $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $.$ (2^{-1})^x = 2^{-1/2} $$ 2^{-x} = 2^{-1/2} $Отсюда $ -x = -\frac{1}{2} $, то есть $ x = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

7)Найдем $ \log_{1/2}{\sqrt{2}} $. Пусть $ \log_{1/2}{\sqrt{2}} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = \sqrt{2} $Представим обе части как степени числа 2. $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $ и $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $.$ (2^{-1})^x = 2^{1/2} $$ 2^{-x} = 2^{1/2} $Приравниваем показатели: $ -x = \frac{1}{2} $, откуда $ x = -\frac{1}{2} $.
Ответ: $ -\frac{1}{2} $

8)Найдем $ \log_{1/2}{64} $. Пусть $ \log_{1/2}{64} = x $.$ (\frac{1}{2})^x = 64 $Представим обе части как степени числа 2. $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $ и $ 64 = 2^6 $.$ (2^{-1})^x = 2^6 $$ 2^{-x} = 2^6 $Отсюда $ -x = 6 $, то есть $ x = -6 $.
Ответ: -6

4.5. Найдите логарифм по основанию $ \frac{1}{3} $ числа:

1) $ \frac{1}{9} $; 2) $ \frac{1}{27} $; 3) $ 3 $; 4) $ 81 $; 5) $ \frac{1}{\sqrt[3]{3}} $; 6) $ \sqrt[3]{3} $.

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_{a}b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, равенство $\log_{a}b = c$ равносильно равенству $a^c = b$.

В данной задаче основание логарифма $a = \frac{1}{3}$.

1) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $\frac{1}{9}$.

Пусть $\log_{1/3}(\frac{1}{9}) = x$. По определению логарифма, это означает, что $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{9}$.

Так как $9 = 3^2$, то $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = (\frac{1}{3})^2$.

Получаем уравнение $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^2$.

Следовательно, $x=2$.

Ответ: $2$.

2) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $\frac{1}{27}$.

Пусть $\log_{1/3}(\frac{1}{27}) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$.

Так как $27 = 3^3$, то $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$.

Получаем уравнение $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^3$.

Следовательно, $x=3$.

Ответ: $3$.

3) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $3$.

Пусть $\log_{1/3}(3) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = 3$.

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, запишем $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$.

Получаем уравнение $(3^{-1})^x = 3^1$, что равносильно $3^{-x} = 3^1$.

Приравнивая показатели степеней, имеем $-x = 1$, откуда $x = -1$.

Ответ: $-1$.

4) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $81$.

Пусть $\log_{1/3}(81) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = 81$.

Представим обе части уравнения как степени числа 3. Мы знаем, что $81 = 3^4$ и $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Уравнение принимает вид $(3^{-1})^x = 3^4$, или $3^{-x} = 3^4$.

Отсюда $-x=4$, то есть $x=-4$.

Ответ: $-4$.

5) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Пусть $\log_{1/3}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$. Используя свойство корня $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$, имеем $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$.

Тогда $\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = \frac{1}{3^{1/3}}$. Так как $\frac{1}{a^b} = (\frac{1}{a})^b$, то $\frac{1}{3^{1/3}} = (\frac{1}{3})^{1/3}$.

Получаем уравнение $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{1/3}$.

Следовательно, $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

6) Найдем логарифм по основанию $\frac{1}{3}$ числа $\sqrt[3]{3}$.

Пусть $\log_{1/3}(\sqrt[3]{3}) = x$. Тогда $(\frac{1}{3})^x = \sqrt[3]{3}$.

Представим обе части уравнения как степени числа 3. $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $\sqrt[3]{3} = 3^{1/3}$.

Уравнение принимает вид $(3^{-1})^x = 3^{1/3}$, что равносильно $3^{-x} = 3^{1/3}$.

Приравнивая показатели степеней, получаем $-x = \frac{1}{3}$, откуда $x = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.

4.6. Найдите десятичный логарифм числа:

1) 1;

2) 10;

3) 100;

4) 1000;

5) 0,1;

6) 0,01;

7) 0,00001;

8) 0,000001.

1) Десятичный логарифм числа, обозначаемый как $lg(x)$, это степень, в которую нужно возвести число 10, чтобы получить $x$. Для числа 1 нам нужно найти $lg(1)$. Мы ищем такое число $y$, что $10^y = 1$. Поскольку любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, то $10^0 = 1$. Значит, $lg(1) = 0$. Ответ: 0

2) Нам нужно найти $lg(10)$. По определению десятичного логарифма, мы ищем показатель степени $y$, для которого выполняется равенство $10^y = 10$. Очевидно, что $y=1$, так как $10^1 = 10$. Следовательно, $lg(10) = 1$. Ответ: 1

3) Требуется найти $lg(100)$. Представим число 100 как степень числа 10. Так как $100 = 10 \cdot 10 = 10^2$, то логарифм будет равен показателю этой степени. Таким образом, $lg(100) = lg(10^2) = 2$. Ответ: 2

4) Необходимо найти $lg(1000)$. Представим число 1000 в виде степени основания 10. Мы знаем, что $1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^3$. Значит, по определению логарифма, $lg(1000) = lg(10^3) = 3$. Ответ: 3

5) Найдем $lg(0,1)$. Сначала представим десятичную дробь 0,1 в виде степени числа 10. $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$. Таким образом, показатель степени, в которую нужно возвести 10, чтобы получить 0,1, равен -1. Следовательно, $lg(0,1) = -1$. Ответ: -1

6) Найдем $lg(0,01)$. Представим число 0,01 как степень с основанием 10. $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$. Показатель степени равен -2, значит $lg(0,01) = -2$. Ответ: -2

7) Требуется найти $lg(0,00001)$. Запишем число 0,00001 в виде степени числа 10. В данном числе 5 знаков после запятой, поэтому его можно записать как $\frac{1}{100000}$ или $\frac{1}{10^5}$. Используя свойство степеней, получаем $10^{-5}$. Следовательно, $lg(0,00001) = -5$. Ответ: -5

8) Необходимо найти $lg(0,000001)$. Представим это число как степень с основанием 10. В числе 6 знаков после запятой, что соответствует дроби $\frac{1}{1000000}$. Так как $1000000 = 10^6$, то $\frac{1}{1000000} = \frac{1}{10^6} = 10^{-6}$. Таким образом, $lg(0,000001) = -6$. Ответ: -6

4.7. Чему равен логарифм числа 10 000 по основанию:

1) 10;

2) 100;

3) $ \sqrt{10} $;

4) 0,1;

5) 1000;

6) 0,0001?

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, равенство $\log_a b = x$ равносильно равенству $a^x = b$. В данной задаче нам нужно найти логарифм числа $10000$ по различным основаниям. Удобно представить число $10000$ в виде степени: $10000 = 10^4$.

1)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $10$. Обозначим искомый логарифм за $x$: $\log_{10} 10000 = x$. По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $10^x = 10000$. Так как $10000 = 10^4$, получаем уравнение $10^x = 10^4$, откуда следует, что $x=4$.

Ответ: $4$.

2)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $100$. Обозначим $\log_{100} 10000 = x$. Это означает, что $100^x = 10000$. Представим $100$ как $10^2$, а $10000$ как $10^4$. Уравнение примет вид: $(10^2)^x = 10^4$, или $10^{2x} = 10^4$. Приравнивая показатели степени, получаем $2x = 4$. Решая уравнение, находим $x=2$.

Ответ: $2$.

3)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $\sqrt{10}$. Обозначим $\log_{\sqrt{10}} 10000 = x$. По определению, $(\sqrt{10})^x = 10000$. Представим основание и число в виде степеней числа $10$: $\sqrt{10} = 10^{1/2}$ и $10000 = 10^4$. Уравнение принимает вид: $(10^{1/2})^x = 10^4$, или $10^{x/2} = 10^4$. Приравнивая показатели, получаем $\frac{x}{2} = 4$, откуда $x=8$.

Ответ: $8$.

4)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $0,1$. Обозначим $\log_{0,1} 10000 = x$. Это значит, что $(0,1)^x = 10000$. Представим $0,1$ как $10^{-1}$, а $10000$ как $10^4$. Уравнение примет вид: $(10^{-1})^x = 10^4$, или $10^{-x} = 10^4$. Приравнивая показатели, получаем $-x = 4$. Следовательно, $x=-4$.

Ответ: $-4$.

5)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $1000$. Обозначим $\log_{1000} 10000 = x$. Это эквивалентно уравнению $1000^x = 10000$. Представим основание и число как степени $10$: $1000 = 10^3$ и $10000 = 10^4$. Уравнение примет вид: $(10^3)^x = 10^4$, или $10^{3x} = 10^4$. Приравнивая показатели, получаем $3x = 4$, откуда $x = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

6)

Найдем логарифм числа $10000$ по основанию $0,0001$. Обозначим $\log_{0,0001} 10000 = x$. Это означает, что $(0,0001)^x = 10000$. Представим $0,0001$ как $10^{-4}$, а $10000$ как $10^4$. Уравнение примет вид: $(10^{-4})^x = 10^4$, или $10^{-4x} = 10^4$. Приравнивая показатели, получаем $-4x = 4$. Следовательно, $x=-1$.

Ответ: $-1$.

4.8. Найдите логарифм числа 729 по основанию:

1) 27;

2) 9;

3) 3;

4) $\frac{1}{27}$;

5) $\frac{1}{9}$;

6) $\frac{1}{3}$.

1) 27

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию 27, необходимо найти значение выражения $\log_{27}{729}$.
По определению логарифма, если $\log_{a}{b} = x$, то $a^x = b$.Пусть $x = \log_{27}{729}$, тогда $27^x = 729$.
Для решения этого уравнения представим основание 27 и число 729 как степени одного и того же числа. Удобнее всего использовать число 3, так как $27 = 3^3$.
$729 = 9 \times 81 = 9 \times 9^2 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(3^3)^x = 3^6$
$3^{3x} = 3^6$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3} = 2$
Следовательно, $\log_{27}{729} = 2$.

Ответ: 2

2) 9

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию 9, необходимо найти значение выражения $\log_{9}{729}$.
Пусть $x = \log_{9}{729}$, тогда $9^x = 729$.
Представим число 729 как степень числа 9:
$729 = 81 \times 9 = 9^2 \times 9 = 9^3$.
Подставим это значение в уравнение:
$9^x = 9^3$
Отсюда следует, что $x=3$.
Следовательно, $\log_{9}{729} = 3$.

Ответ: 3

3) 3

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию 3, необходимо найти значение выражения $\log_{3}{729}$.
Пусть $x = \log_{3}{729}$, тогда $3^x = 729$.
Представим число 729 как степень числа 3:
$729 = 3^6$.
Подставим это значение в уравнение:
$3^x = 3^6$
Отсюда следует, что $x=6$.
Следовательно, $\log_{3}{729} = 6$.

Ответ: 6

4) $\frac{1}{27}$

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию $\frac{1}{27}$, необходимо найти значение выражения $\log_{\frac{1}{27}}{729}$.
Пусть $x = \log_{\frac{1}{27}}{729}$, тогда $(\frac{1}{27})^x = 729$.
Представим основание и число как степени числа 3:
$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$729 = 3^6$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(3^{-3})^x = 3^6$
$3^{-3x} = 3^6$
Приравниваем показатели степеней:
$-3x = 6$
$x = \frac{6}{-3} = -2$
Следовательно, $\log_{\frac{1}{27}}{729} = -2$.

Ответ: -2

5) $\frac{1}{9}$

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию $\frac{1}{9}$, необходимо найти значение выражения $\log_{\frac{1}{9}}{729}$.
Пусть $x = \log_{\frac{1}{9}}{729}$, тогда $(\frac{1}{9})^x = 729$.
Представим основание и число как степени числа 9:
$\frac{1}{9} = 9^{-1}$
$729 = 9^3$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(9^{-1})^x = 9^3$
$9^{-x} = 9^3$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = 3$
$x = -3$
Следовательно, $\log_{\frac{1}{9}}{729} = -3$.

Ответ: -3

6) $\frac{1}{3}$

Чтобы найти логарифм числа 729 по основанию $\frac{1}{3}$, необходимо найти значение выражения $\log_{\frac{1}{3}}{729}$.
Пусть $x = \log_{\frac{1}{3}}{729}$, тогда $(\frac{1}{3})^x = 729$.
Представим основание и число как степени числа 3:
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$
$729 = 3^6$
Подставим эти выражения в уравнение:
$(3^{-1})^x = 3^6$
$3^{-x} = 3^6$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = 6$
$x = -6$
Следовательно, $\log_{\frac{1}{3}}{729} = -6$.

Ответ: -6

4.9. Решите уравнение:

1) $log_{7}x = -1;$

2) $log_{4}x = \frac{1}{2};$

3) $log_{\sqrt{3}}x = 6;$

4) $log_{2}x = 0;$

5) $log_{x}9 = 2;$

6) $log_{x}0,25 = -2;$

7) $log_{x}2 = 2;$

8) $log_{x}5 = \frac{1}{3}.$

1) Исходное уравнение: $log_7 x = -1$.
По определению логарифма, если $log_b a = c$, то $a = b^c$.
В нашем случае, основание $b=7$, $c=-1$, и мы ищем $x=a$.
Применяя определение, получаем: $x = 7^{-1}$.
Отрицательная степень означает обратное число, поэтому $x = \frac{1}{7}$.
Проверим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма $x$ должен быть больше нуля. $x = \frac{1}{7} > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $x = \frac{1}{7}$.

2) Исходное уравнение: $log_4 x = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма ($a = b^c$), получаем: $x = 4^{\frac{1}{2}}$.
Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню: $x = \sqrt{4}$.
Следовательно, $x = 2$.
Проверим ОДЗ: $x = 2 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $x = 2$.

3) Исходное уравнение: $log_{\sqrt{3}} x = 6$.
По определению логарифма, $x = (\sqrt{3})^6$.
Чтобы вычислить $(\sqrt{3})^6$, можно переписать $\sqrt{3}$ как $3^{\frac{1}{2}}$.
Тогда $x = (3^{\frac{1}{2}})^6 = 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} = 3^3$.
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.
Следовательно, $x = 27$.
Проверим ОДЗ: $x = 27 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $x = 27$.

4) Исходное уравнение: $log_2 x = 0$.
По определению логарифма, $x = 2^0$.
Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1.
Следовательно, $x = 1$.
Проверим ОДЗ: $x = 1 > 0$. Условие выполнено.
Ответ: $x = 1$.

5) Исходное уравнение: $log_x 9 = 2$.
В этом уравнении $x$ является основанием логарифма.
По определению логарифма, $x^2 = 9$.
Это квадратное уравнение имеет два корня: $x = 3$ и $x = -3$.
Однако, основание логарифма $x$ по определению должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$ и $x \neq 1$).
Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому он является посторонним.
Корень $x = 3$ удовлетворяет обоим условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).
Ответ: $x = 3$.

6) Исходное уравнение: $log_x 0,25 = -2$.
Здесь $x$ также является основанием логарифма. По определению, $x^{-2} = 0,25$.
Представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
Уравнение принимает вид: $x^{-2} = \frac{1}{4}$.
По свойству степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем $\frac{1}{x^2} = \frac{1}{4}$.
Отсюда следует, что $x^2 = 4$.
Корнями этого уравнения являются $x = 2$ и $x = -2$.
Проверим ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$.
Корень $x = 2$ удовлетворяет условиям.
Ответ: $x = 2$.

7) Исходное уравнение: $log_x 2 = 2$.
По определению логарифма, $x^2 = 2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$.
Проверим ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Корень $x = -\sqrt{2}$ не удовлетворяет условию $x > 0$.
Корень $x = \sqrt{2}$ удовлетворяет условиям, так как $\sqrt{2} \approx 1,414 > 0$ и $\sqrt{2} \neq 1$.
Ответ: $x = \sqrt{2}$.

8) Исходное уравнение: $log_x 5 = \frac{1}{3}$.
По определению логарифма, $x^{\frac{1}{3}} = 5$.
Степень $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню, то есть $\sqrt[3]{x} = 5$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = 5^3$.
Получаем $x = 125$.
Проверим ОДЗ для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
$125 > 0$ и $125 \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: $x = 125$.

4.10. Решите уравнение:

1) $\log_{6} x = 2;$

2) $\log_{\sqrt[3]{5}} x = \frac{3}{2};$

3) $\log_{0,2} x = -3;$

4) $\log_{x} 6 = 5;$

5) $\log_{x} 81 = 4;$

6) $\log_{x} 11 = -1.$

1) $\log_6 x = 2$

По определению логарифма, если $\log_b a = c$, то это эквивалентно $a = b^c$. В данном уравнении основание $b=6$, значение логарифма $c=2$, а аргумент $a=x$.

Применяя определение, получаем:

$x = 6^2$

$x = 36$

Область определения логарифма требует, чтобы аргумент был больше нуля ($x > 0$). Решение $x=36$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $36$

2) $\log_{\sqrt[3]{5}} x = \frac{3}{2}$

Используем определение логарифма: $x = (\sqrt[3]{5})^{\frac{3}{2}}$.

Представим основание $\sqrt[3]{5}$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$.

Тогда уравнение принимает вид:

$x = (5^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}$

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножаем показатели:

$x = 5^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}} = 5^{\frac{3}{6}} = 5^{\frac{1}{2}}$

Возвращаясь к корням, получаем:

$x = \sqrt{5}$

Решение $x=\sqrt{5}$ удовлетворяет условию $x>0$.

Ответ: $\sqrt{5}$

3) $\log_{0.2} x = -3$

По определению логарифма: $x = (0.2)^{-3}$.

Представим десятичную дробь $0.2$ в виде обыкновенной дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Тогда:

$x = (\frac{1}{5})^{-3}$

Используя свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:

$x = 5^3$

$x = 125$

Решение $x=125$ удовлетворяет условию $x>0$.

Ответ: $125$

4) $\log_x 6 = 5$

По определению логарифма: $x^5 = 6$.

Чтобы найти $x$, извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[5]{6}$

Область определения логарифма требует, чтобы основание было больше нуля и не равнялось единице ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Корень $\sqrt[5]{6}$ является положительным числом и не равен 1. Следовательно, решение удовлетворяет условиям.

Ответ: $\sqrt[5]{6}$

5) $\log_x 81 = 4$

По определению логарифма: $x^4 = 81$.

Мы знаем, что $81 = 3^4$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$x^4 = 3^4$

Это уравнение имеет два действительных корня: $x = 3$ и $x = -3$.

Однако основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равняться единице ($x > 0$ и $x \neq 1$).

Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.

Корень $x = 3$ удовлетворяет всем условиям ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).

Ответ: $3$

6) $\log_x 11 = -1$

По определению логарифма: $x^{-1} = 11$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем:

$\frac{1}{x} = 11$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{1}{11}$

Проверяем условия для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Решение $x = \frac{1}{11}$ удовлетворяет этим условиям, так как $\frac{1}{11} > 0$ и $\frac{1}{11} \neq 1$.

Ответ: $\frac{1}{11}$

4.11. Решите уравнение:

1) $6^x = 2;$

2) $5^x = 10;$

3) $0,4^x = 9;$

4) $2^{x-3} = 5;$

5) $(\frac{1}{3})^{1-x} = 2;$

6) $0,3^{3x+2} = 7.$

1) Дано показательное уравнение $6^x = 2$.

Для решения этого уравнения воспользуемся определением логарифма: если $a^x = b$, то $x = \log_a b$.

В нашем случае основание $a = 6$, а значение $b = 2$. Следовательно, показатель степени $x$ равен логарифму числа 2 по основанию 6.

$x = \log_6 2$.

Ответ: $x = \log_6 2$.

2) Дано показательное уравнение $5^x = 10$.

По определению логарифма, $x = \log_5 10$.

Это выражение можно упростить, используя свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:

$x = \log_5 (5 \cdot 2) = \log_5 5 + \log_5 2$.

Так как $\log_5 5 = 1$, получаем:

$x = 1 + \log_5 2$.

Ответ: $x = 1 + \log_5 2$.

3) Дано показательное уравнение $0.4^x = 9$.

Применяя определение логарифма, получаем:

$x = \log_{0.4} 9$.

Основание логарифма можно представить в виде обыкновенной дроби: $0.4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Тогда ответ можно записать и в виде $x = \log_{2/5} 9$.

Ответ: $x = \log_{0.4} 9$.

4) Дано показательное уравнение $2^{x-3} = 5$.

По определению логарифма, показатель степени $x-3$ равен логарифму числа 5 по основанию 2:

$x - 3 = \log_2 5$.

Чтобы найти $x$, перенесем -3 в правую часть уравнения, изменив знак:

$x = 3 + \log_2 5$.

Ответ: $x = 3 + \log_2 5$.

5) Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^{1-x} = 2$.

Сначала преобразуем основание степени, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Подставим это в уравнение:

$(3^{-1})^{1-x} = 2$.

Далее используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{-(1-x)} = 2$,

$3^{x-1} = 2$.

Теперь, по определению логарифма, находим показатель степени:

$x - 1 = \log_3 2$.

Выражаем $x$:

$x = 1 + \log_3 2$.

Ответ: $x = 1 + \log_3 2$.

6) Дано показательное уравнение $0.3^{3x+2} = 7$.

Согласно определению логарифма, показатель степени $3x+2$ равен логарифму числа 7 по основанию 0.3:

$3x + 2 = \log_{0.3} 7$.

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала вычтем 2 из обеих частей:

$3x = \log_{0.3} 7 - 2$.

Теперь разделим обе части на 3:

$x = \frac{\log_{0.3} 7 - 2}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\log_{0.3} 7 - 2}{3}$.

4.12. Решите уравнение:

1) $3^x = 2;$

2) $10^x = \frac{1}{6};$

3) $7^x + 5 = 9;$

4) $0,6^{5x - 2} = 20.$

1) Дано показательное уравнение $3^x = 2$. По определению логарифма, если $a^x = b$ (где $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$), то $x = \log_a b$. В данном уравнении основание $a = 3$, а число $b = 2$. Применяя определение логарифма, находим $x$.
$x = \log_3 2$.
Ответ: $x = \log_3 2$.

2) Дано показательное уравнение $10^x = \frac{1}{6}$. По определению логарифма, $x = \log_{10} \frac{1}{6}$. Логарифм с основанием 10 называется десятичным логарифмом и обозначается как $\lg$. Таким образом, $x = \lg \frac{1}{6}$. Используя свойство логарифма $\log_a \frac{1}{c} = -\log_a c$, можно упростить выражение:
$x = \lg(6^{-1}) = -\lg 6$.
Ответ: $x = -\lg 6$.

3) Дано уравнение $7^x + 5 = 9$. Сначала изолируем показательное выражение $7^x$. Для этого перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$7^x = 9 - 5$
$7^x = 4$
Теперь мы получили простое показательное уравнение вида $a^x = b$. Применяя определение логарифма, находим $x$:
$x = \log_7 4$.
Ответ: $x = \log_7 4$.

4) Дано уравнение $0,6^{5x - 2} = 20$. Это показательное уравнение, где в показателе степени находится выражение $5x - 2$. По определению логарифма, показатель степени равен логарифму правой части по основанию степени:
$5x - 2 = \log_{0,6} 20$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Сначала перенесем -2 в правую часть:
$5x = \log_{0,6} 20 + 2$
Затем разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{\log_{0,6} 20 + 2}{5}$.
Ответ: $x = \frac{\log_{0,6} 20 + 2}{5}$.