Страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.26. Найдите область определения функции $y = \sqrt{\frac{7-x}{\sqrt{4x^2 - 19x + 12}}}$.

Область определения функции $y = \sqrt{\frac{7-x}{\sqrt{4x^2 - 19x + 12}}}$ находится из условий, при которых все операции в выражении корректны. Это приводит к системе неравенств.

1. Выражение под внешним (основным) квадратным корнем должно быть неотрицательным:$$ \frac{7-x}{\sqrt{4x^2 - 19x + 12}} \ge 0 $$2. Выражение под внутренним квадратным корнем, который находится в знаменателе, должно быть строго положительным (подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю):$$ 4x^2 - 19x + 12 > 0 $$

Рассмотрим первое неравенство. Знаменатель $\sqrt{4x^2 - 19x + 12}$ является квадратным корнем, поэтому он всегда положителен, если определён (что гарантируется вторым неравенством). Следовательно, знак всей дроби зависит только от знака числителя. Таким образом, первое неравенство сводится к:$$ 7 - x \ge 0 $$

Итак, для нахождения области определения функции необходимо решить систему двух неравенств:$$ \begin{cases} 7 - x \ge 0 \\ 4x^2 - 19x + 12 > 0 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:$$ 7 - x \ge 0 $$$$ -x \ge -7 $$$$ x \le 7 $$Решением является промежуток $x \in (-\infty; 7]$.

Решим второе неравенство:$$ 4x^2 - 19x + 12 > 0 $$Для этого найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - 19x + 12 = 0$ с помощью дискриминанта.$$ D = b^2 - 4ac = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 12 = 361 - 192 = 169 = 13^2 $$Корни уравнения:$$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 - 13}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $$$$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{19 + 13}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 $$Графиком функции $y = 4x^2 - 19x + 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a=4>0$). Следовательно, неравенство $4x^2 - 19x + 12 > 0$ выполняется, когда $x$ находится за пределами корней.Решением является объединение промежутков $x \in (-\infty; 3/4) \cup (4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-\infty; 7]$ и $x \in (-\infty; 3/4) \cup (4; +\infty)$.Совмещая эти условия на числовой оси, получаем:$$ ((-\infty; 3/4) \cup (4; +\infty)) \cap (-\infty; 7] = (-\infty; 3/4) \cup (4; 7] $$Это и есть область определения исходной функции.
Ответ: $x \in (-\infty; 3/4) \cup (4; 7]$.

3.27. Найдите область значений функции $y = \sqrt{4x - x^2}$.

Для того чтобы найти область значений функции $y = \sqrt{4x - x^2}$, необходимо определить множество всех возможных значений, которые может принимать переменная $y$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Функция содержит квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$4x - x^2 \ge 0$

Вынесем $x$ за скобку:

$x(4 - x) \ge 0$

Это квадратичное неравенство. Его корни $x=0$ и $x=4$. Графиком функции $g(x) = 4x - x^2$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Следовательно, положительные значения функция принимает между корнями.

Таким образом, область определения функции — это отрезок $x \in [0; 4]$.

2. Анализ подкоренного выражения.

Рассмотрим функцию $g(x) = 4x - x^2$ на ее области определения $[0; 4]$. Нам нужно найти ее наименьшее и наибольшее значения, чтобы определить, какие значения будет принимать $y = \sqrt{g(x)}$.

Так как $g(x) = 4x - x^2$ — это парабола с ветвями вниз, ее наибольшее значение находится в вершине. Найдем абсциссу вершины:

$x_{в} = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2$

Точка $x=2$ принадлежит отрезку $[0; 4]$.

Наибольшее значение подкоренного выражения:

$g_{max} = g(2) = 4(2) - 2^2 = 8 - 4 = 4$.

Наименьшее значение на отрезке $[0; 4]$ будет достигаться на одном из его концов. Проверим значения в точках $x=0$ и $x=4$:

$g(0) = 4(0) - 0^2 = 0$

$g(4) = 4(4) - 4^2 = 16 - 16 = 0$

Наименьшее значение подкоренного выражения равно $0$.

Итак, мы установили, что подкоренное выражение $4x - x^2$ принимает значения в диапазоне от $0$ до $4$, то есть $0 \le 4x - x^2 \le 4$.

3. Нахождение области значений функции y.

Функция $y = \sqrt{g(x)}$ является возрастающей, поэтому ее наименьшее и наибольшее значения будут достигаться при наименьшем и наибольшем значениях $g(x)$ соответственно.

Наименьшее значение $y$:

$y_{min} = \sqrt{g_{min}} = \sqrt{0} = 0$

Наибольшее значение $y$:

$y_{max} = \sqrt{g_{max}} = \sqrt{4} = 2$

Так как исходная функция непрерывна на своей области определения, она принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями.

Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок от $0$ до $2$.

Ответ: $[0; 2]$