Страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Какую теорему и какое следствие из неё используют при решении показательных неравенств?

При решении показательных неравенств ключевым является свойство монотонности показательной функции. Это свойство описывается следующей теоремой и приводит к важному следствию, которое является практическим правилом решения.

Теорема о монотонности показательной функции

Показательная функция $y = a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, является строго монотонной на всей своей области определения (на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$).

• Если основание $a > 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $a^{x_2} > a^{x_1}$. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
• Если основание $0 < a < 1$, то показательная функция $y = a^x$ является строго убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_2 > x_1$ следует неравенство $a^{x_2} < a^{x_1}$. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Следствие (правило решения показательных неравенств)

Из теоремы о монотонности напрямую следует метод решения простейших показательных неравенств вида $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ (или с другими знаками: $<, \le, \ge$). Этот метод заключается в равносильном переходе от неравенства, содержащего степени, к неравенству для показателей этих степеней.

1. Если основание $a > 1$ (функция возрастает), то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

   $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$

2. Если основание $0 < a < 1$ (функция убывает), то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

   $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$

Это правило является фундаментальным для решения любых показательных неравенств, так как их решение, как правило, сводится к одному из этих двух случаев после преобразований.

Ответ: При решении показательных неравенств используют теорему о строгой монотонности показательной функции. Следствием из неё является правило равносильного перехода от неравенства для степеней к неравенству для их показателей: если основание степени $a > 1$, знак неравенства сохраняется; если $0 < a < 1$, знак неравенства меняется на противоположный.

3.1. Равносильны ли неравенства:

1) $7^{2x+4} > 7^{x-1}$ и $2x+4 > x-1$;

2) $0,9^{x^2-4} < 0,9^{x+2}$ и $x^2-4 < x+2$;

3) $a^x > a^5$, где $a > 1$ и $x > 5$;

4) $a^x < a^{-3}$, где $0 < a < 1$ и $x < -3$?

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные пары неравенств, найдем множества решений для каждого неравенства и сравним их.

1) $7^{2x + 4} > 7^{x - 1}$ и $2x + 4 > x - 1$

Рассмотрим первое неравенство: $7^{2x + 4} > 7^{x - 1}$.

Это показательное неравенство. Так как основание степени $a = 7$ больше единицы ($7 > 1$), показательная функция $y=7^t$ является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно неравенству для показателей с тем же знаком:

$2x + 4 > x - 1$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$2x - x > -1 - 4$

$x > -5$

Множество решений первого неравенства: $x \in (-5; +\infty)$.

Второе неравенство в паре — это $2x + 4 > x - 1$. Мы его уже решили, и его множество решений также $x \in (-5; +\infty)$.

Поскольку множества решений обоих неравенств совпадают, они равносильны.

Ответ: да, равносильны.

2) $0,9^{x^2 - 4} < 0,9^{x + 2}$ и $x^2 - 4 < x + 2$

Рассмотрим первое неравенство: $0,9^{x^2 - 4} < 0,9^{x + 2}$.

Это показательное неравенство. Так как основание степени $a = 0,9$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция $y=0,9^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 4 > x + 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 6 > 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

Множество решений первого неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $x^2 - 4 < x + 2$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - x - 6 < 0$

Корни соответствующего уравнения те же: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Парабола направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется при значениях $x$ между корнями.

Множество решений второго неравенства: $x \in (-2; 3)$.

Множества решений $(-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$ и $(-2; 3)$ не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

3) $a^x > a^5$, где $a > 1$ и $x > 5$

Рассмотрим первое неравенство: $a^x > a^5$.

По условию, основание степени $a > 1$. Это означает, что показательная функция $y=a^t$ является возрастающей. Поэтому неравенство $a^x > a^5$ равносильно неравенству $x > 5$.

Множество решений первого неравенства: $x \in (5; +\infty)$.

Второе неравенство: $x > 5$. Его множество решений также $x \in (5; +\infty)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: да, равносильны.

4) $a^x < a^{-3}$, где $0 < a < 1$ и $x < -3$

Рассмотрим первое неравенство: $a^x < a^{-3}$.

По условию, основание степени $0 < a < 1$. Это означает, что показательная функция $y=a^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -3$

Множество решений первого неравенства: $x \in (-3; +\infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $x < -3$.

Множество решений второго неравенства: $x \in (-\infty; -3)$.

Множества решений $(-3; +\infty)$ и $(-\infty; -3)$ не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

3.2. Решите неравенство:

1) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$;

2) $5^x < \frac{1}{5}$;

3) $11^{x-5} < 11^{3x+1}$;

4) $0{,}4^{6x+1} \ge 0{,}4^{2x+5}$;

5) $2^{x^2-1} < 8$;

6) $27^{2x+1} > (\frac{1}{9})^{x+2}$;

7) $0{,}3^{4x-8} > 1$;

8) $0{,}1^{3x-1} < 1000$;

9) $(\frac{1}{36})^{2-x} < 216^{x+1}$.

1) $(\frac{1}{2})^x > \frac{1}{4}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{2}$, зная, что $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

$(\frac{1}{2})^x > (\frac{1}{2})^2$

Поскольку основание $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Это означает, что для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

$x < 2$

Ответ: $(-\infty; 2)$.

2) $5^x < \frac{1}{5}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

$5^x < 5^{-1}$

Так как основание $a = 5$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется.

$x < -1$

Ответ: $(-\infty; -1)$.

3) $11^{x-5} < 11^{3x+1}$

Основания степеней в обеих частях неравенства одинаковы и равны 11. Так как $11 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак.

$x-5 < 3x+1$

$x - 3x < 1 + 5$

$-2x < 6$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -3$

Ответ: $(-3; +\infty)$.

4) $0,4^{6x+1} \ge 0,4^{2x+5}$

Основания степеней равны $0,4$. Поскольку $0 < 0,4 < 1$, при переходе к неравенству для показателей знак $\ge$ меняется на $\le$.

$6x+1 \le 2x+5$

$6x - 2x \le 5 - 1$

$4x \le 4$

$x \le 1$

Ответ: $(-\infty; 1]$.

5) $2^{x^2-1} < 8$

Приведем правую часть к основанию 2: $8 = 2^3$.

$2^{x^2-1} < 2^3$

Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется для показателей.

$x^2-1 < 3$

$x^2 - 4 < 0$

$(x-2)(x+2) < 0$

Решением этого квадратного неравенства является интервал между корнями $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

$-2 < x < 2$

Ответ: $(-2; 2)$.

6) $27^{2x+1} > (\frac{1}{9})^{x+2}$

Приведем обе части неравенства к общему основанию 3. $27 = 3^3$ и $\frac{1}{9} = 9^{-1} = (3^2)^{-1} = 3^{-2}$.

$(3^3)^{2x+1} > (3^{-2})^{x+2}$

$3^{3(2x+1)} > 3^{-2(x+2)}$

$3^{6x+3} > 3^{-2x-4}$

Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$6x+3 > -2x-4$

$6x+2x > -4-3$

$8x > -7$

$x > -\frac{7}{8}$

Ответ: $(-\frac{7}{8}; +\infty)$.

7) $0,3^{4x-8} > 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,3: $1 = 0,3^0$.

$0,3^{4x-8} > 0,3^0$

Основание $0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.

$4x-8 < 0$

$4x < 8$

$x < 2$

Ответ: $(-\infty; 2)$.

8) $0,1^{3x-1} < 1000$

Приведем обе части к общему основанию 10. $0,1 = 10^{-1}$ и $1000 = 10^3$.

$(10^{-1})^{3x-1} < 10^3$

$10^{-(3x-1)} < 10^3$

$10^{-3x+1} < 10^3$

Основание $10 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется.

$-3x+1 < 3$

$-3x < 2$

$x > -\frac{2}{3}$

Ответ: $(-\frac{2}{3}; +\infty)$.

9) $(\frac{1}{36})^{2-x} < 216^{x+1}$

Приведем обе части к общему основанию 6. $\frac{1}{36} = 36^{-1} = (6^2)^{-1} = 6^{-2}$ и $216 = 6^3$.

$(6^{-2})^{2-x} < (6^3)^{x+1}$

$6^{-2(2-x)} < 6^{3(x+1)}$

$6^{-4+2x} < 6^{3x+3}$

Основание $6 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется для показателей.

$-4+2x < 3x+3$

$2x-3x < 3+4$

$-x < 7$

$x > -7$

Ответ: $(-7; +\infty)$.

3.3. Решите неравенство:

1) $6^{7x-1} > 6$;

2) $10^x < 0,001$;

3) $(\frac{2}{3})^x > (\frac{3}{2})^4$;

4) $3^{2x^2-6} > \frac{1}{81}$;

5) $49^{x+1} < (\frac{1}{7})^x$;

6) $0,2^{2x-9} < 1$.

1) $6^{7x-1} > 6$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 6.

Представим правую часть неравенства как степень с основанием 6:

$6 = 6^1$

Получаем неравенство:

$6^{7x-1} > 6^1$

Так как основание степени $6 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$7x - 1 > 1$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$7x > 1 + 1$

$7x > 2$

$x > \frac{2}{7}$

Ответ: $x \in (\frac{2}{7}; +\infty)$

2) $10^x < 0,001$

Приведем обе части неравенства к основанию 10.

Представим 0,001 в виде степени с основанием 10:

$0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$

Неравенство принимает вид:

$10^x < 10^{-3}$

Основание степени $10 > 1$, поэтому знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$x < -3$

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$

3) $(\frac{2}{3})^x > (\frac{3}{2})^4$

Приведем обе части к одному основанию. Удобно выбрать основание $\frac{2}{3}$.

Используем свойство степеней $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$ для правой части:

$(\frac{3}{2})^4 = ((\frac{2}{3})^{-1})^4 = (\frac{2}{3})^{-4}$

Получаем неравенство:

$(\frac{2}{3})^x > (\frac{2}{3})^{-4}$

Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -4$

Ответ: $x \in (-\infty; -4)$

4) $3^{2x^2 - 6} > \frac{1}{81}$

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

Представим правую часть в виде степени с основанием 3:

$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$

Неравенство принимает вид:

$3^{2x^2 - 6} > 3^{-4}$

Основание степени $3 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x^2 - 6 > -4$

Решим полученное квадратное неравенство:

$2x^2 > -4 + 6$

$2x^2 > 2$

$x^2 > 1$

Решением этого неравенства являются все $x$, модуль которых больше 1. Это можно записать как совокупность двух неравенств: $x < -1$ или $x > 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

5) $49^{x+1} < (\frac{1}{7})^x$

Приведем обе части неравенства к основанию 7.

Преобразуем левую часть:

$49^{x+1} = (7^2)^{x+1} = 7^{2(x+1)} = 7^{2x+2}$

Преобразуем правую часть:

$(\frac{1}{7})^x = (7^{-1})^x = 7^{-x}$

Неравенство принимает вид:

$7^{2x+2} < 7^{-x}$

Основание степени $7 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x + 2 < -x$

Решим линейное неравенство:

$2x + x < -2$

$3x < -2$

$x < -\frac{2}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{3})$

6) $0,2^{2x-9} < 1$

Приведем обе части к основанию 0,2.

Представим 1 в виде степени с основанием 0,2:

$1 = 0,2^0$

Неравенство принимает вид:

$0,2^{2x-9} < 0,2^0$

Так как основание степени $0 < 0,2 < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x - 9 > 0$

Решим полученное линейное неравенство:

$2x > 9$

$x > \frac{9}{2}$

$x > 4,5$

Ответ: $x \in (4,5; +\infty)$

3.4. Сколько целых решений имеет неравенство:

1) $0.2 \le 5^{x+4} \le 125$;

2) $\frac{1}{36} \le 6^{3-x} < 6$;

3) $2 < 0.5^{x-1} \le 32?$

1) $0,2 \le 5^{x+4} \le 125$

Для решения показательного неравенства приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 5.

Представим $0,2$ и $125$ в виде степени с основанием 5:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$5^{-1} \le 5^{x+4} \le 5^3$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей степени знаки неравенства сохраняются.

$-1 \le x+4 \le 3$

Теперь решим полученное двойное линейное неравенство. Вычтем 4 из каждой части неравенства:

$-1 - 4 \le x \le 3 - 4$

$-5 \le x \le -1$

Найдем все целые числа, которые принадлежат этому промежутку: -5, -4, -3, -2, -1.

Подсчитаем количество этих решений: 5.

Ответ: 5

2) $\frac{1}{36} \le 6^{3-x} < 6$

Приведем все части неравенства к основанию 6.

$\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$

$6 = 6^1$

Подставим эти значения в неравенство:

$6^{-2} \le 6^{3-x} < 6^1$

Основание степени $6 > 1$, поэтому функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знаки.

$-2 \le 3-x < 1$

Решим это двойное неравенство. Сначала вычтем 3 из всех частей:

$-2 - 3 \le -x < 1 - 3$

$-5 \le -x < -2$

Теперь умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$5 \ge x > 2$

Это неравенство можно записать в более привычном виде:

$2 < x \le 5$

Целыми решениями этого неравенства являются числа: 3, 4, 5.

Всего целых решений: 3.

Ответ: 3

3) $2 < 0,5^{x-1} \le 32$

Приведем все части неравенства к одному основанию. Удобнее всего использовать основание 2.

Представим $0,5$ и $32$ в виде степени с основанием 2:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$32 = 2^5$

Среднюю часть неравенства также преобразуем:

$0,5^{x-1} = (2^{-1})^{x-1} = 2^{-(x-1)} = 2^{1-x}$

Подставим все в исходное неравенство:

$2^1 < 2^{1-x} \le 2^5$

Так как основание степени $2 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знаки.

$1 < 1-x \le 5$

Решим полученное двойное неравенство. Вычтем 1 из всех частей:

$1 - 1 < -x \le 5 - 1$

$0 < -x \le 4$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$0 > x \ge -4$

Запишем в стандартном виде:

$-4 \le x < 0$

Целыми решениями этого неравенства являются числа: -4, -3, -2, -1.

Всего целых решений: 4.

Ответ: 4