Страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

3:5. Найдите сумму целых решений неравенства:

1) $\frac{1}{3} < 3^{x+3} < 9;$

2) $\frac{1}{8} < 2^{2-x} \leq 16.$

1)

Рассмотрим двойное показательное неравенство $\frac{1}{3} < 3^{x+3} < 9$.

Для решения приведем все части неравенства к одному основанию, в данном случае к 3.

Представим $\frac{1}{3}$ и 9 в виде степени с основанием 3:

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

$9 = 3^2$

Теперь неравенство можно переписать в следующем виде:

$3^{-1} < 3^{x+3} < 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знаки неравенства сохраняются:

$-1 < x+3 < 2$

Теперь решим полученное двойное линейное неравенство. Вычтем 3 из всех его частей:

$-1 - 3 < x + 3 - 3 < 2 - 3$

$-4 < x < -1$

Нам нужно найти сумму целых решений. Целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству, — это числа, находящиеся в интервале $(-4, -1)$.

Целые решения: -3, -2.

Найдем их сумму:

$-3 + (-2) = -5$

Ответ: -5

2)

Рассмотрим двойное показательное неравенство $\frac{1}{8} < 2^{2-x} \le 16$.

Приведем все части неравенства к основанию 2.

Представим $\frac{1}{8}$ и 16 в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

$16 = 2^4$

Перепишем исходное неравенство:

$2^{-3} < 2^{2-x} \le 2^4$

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знаки неравенства:

$-3 < 2-x \le 4$

Решим это двойное линейное неравенство. Сначала вычтем 2 из всех частей:

$-3 - 2 < 2 - x - 2 \le 4 - 2$

$-5 < -x \le 2$

Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-5) \cdot (-1) > (-x) \cdot (-1) \ge 2 \cdot (-1)$

$5 > x \ge -2$

Запишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего к большему:

$-2 \le x < 5$

Нам нужно найти сумму целых решений. Целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству, — это числа, большие или равные -2 и строго меньшие 5.

Целые решения: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Найдем их сумму:

$-2 + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7$

Ответ: 7

3.6. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x}$;

2) $f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x+2} - 27}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x \geq 0$

Перенесем показательный член в правую часть неравенства:

$1 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:

$1 = \left(\frac{1}{2}\right)^0$

Получаем неравенство:

$\left(\frac{1}{2}\right)^0 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^x$

Так как основание степени $\frac{1}{2}$ меньше 1 ($0 < \frac{1}{2} < 1$), показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$0 \leq x$

Таким образом, область определения функции — это все числа $x$, большие или равные 0.

Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{3}{\sqrt{3^{x+2} - 27}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня, находящееся в знаменателе, должно быть строго положительным (так как на ноль делить нельзя, а извлекать корень из отрицательного числа в действительных числах невозможно).

Составим и решим неравенство:

$3^{x+2} - 27 > 0$

Перенесем 27 в правую часть неравенства:

$3^{x+2} > 27$

Представим 27 в виде степени с основанием 3:

$27 = 3^3$

Получаем неравенство:

$3^{x+2} > 3^3$

Так как основание степени 3 больше 1, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x + 2 > 3$

Решаем полученное линейное неравенство:

$x > 3 - 2$

$x > 1$

Следовательно, область определения функции — это все числа $x$, строго большие 1.

Ответ: $D(f) = (1; +\infty)$.

3.7. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^x - 16}$;

2) $f(x) = \sqrt{1 - 6^{x-4}}$.

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \sqrt{(\frac{1}{4})^x - 16}$, необходимо, чтобы выражение под знаком квадратного корня было неотрицательным. Составим и решим неравенство:

$(\frac{1}{4})^x - 16 \ge 0$

Перенесем 16 в правую часть неравенства:

$(\frac{1}{4})^x \ge 16$

Представим обе части неравенства в виде степени с одним основанием. В качестве основания можно выбрать 4. Так как $\frac{1}{4} = 4^{-1}$ и $16 = 4^2$, неравенство можно переписать в виде:

$(4^{-1})^x \ge 4^2$

$4^{-x} \ge 4^2$

Так как основание степени $4 > 1$, то при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$-x \ge 2$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -2$

Следовательно, область определения функции — это множество всех чисел, меньших или равных -2.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -2]$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{1 - 6^{x-4}}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$1 - 6^{x-4} \ge 0$

Перенесем $6^{x-4}$ в правую часть неравенства:

$1 \ge 6^{x-4}$

Представим число 1 в левой части как степень с основанием 6, то есть $1 = 6^0$:

$6^0 \ge 6^{x-4}$

Поскольку основание степени $6 > 1$, то при сравнении показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$0 \ge x - 4$

Прибавим 4 к обеим частям неравенства:

$4 \ge x$, что то же самое, что и $x \le 4$.

Следовательно, область определения функции — это множество всех чисел, меньших или равных 4.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4]$.

3.8. Решите неравенство:

1) $\left(\frac{1}{4}\right)^{6x - x^2} > \left(\frac{1}{4}\right)^5;$

2) $125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{3x^2} \ge \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x};$

3) $0,6^{\frac{x+5}{x^2-9}} < 1;$

4) $\left(\sin \frac{\pi}{6}\right)^{x-0,5} > \sqrt{2};$

5) $\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{4}{x}-3} \le \frac{9}{4};$

6) $4 \cdot 0,5^{x(x+3)} \ge 0,25^{2x}.$

1) $(\frac{1}{4})^{6x - x^2} > (\frac{1}{4})^5$

Основание степени $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Так как показательная функция с таким основанием является убывающей, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$6x - x^2 < 5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:

$x^2 - 6x + 5 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 5. Следовательно, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

$x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

Ответ: $(-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

2) $125 \cdot (\frac{1}{5})^{3x^2} \ge (\frac{1}{25})^{-4x}$

Приведем все части неравенства к одному основанию, например, к 5.

$125 = 5^3$

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$5^3 \cdot (5^{-1})^{3x^2} \ge (5^{-2})^{-4x}$

Упростим, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$5^3 \cdot 5^{-3x^2} \ge 5^{8x}$

$5^{3 - 3x^2} \ge 5^{8x}$

Основание степени $a = 5$ больше 1. Так как показательная функция с таким основанием является возрастающей, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$3 - 3x^2 \ge 8x$

$3x^2 + 8x - 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

$x_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Парабола $y = 3x^2 + 8x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $3x^2 + 8x - 3 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями (включая сами корни).

$x \in [-3, \frac{1}{3}]$

Ответ: $[-3, \frac{1}{3}]$

3) $0,6^{\frac{x+5}{x^2-9}} < 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,6: $1 = 0,6^0$.

$0,6^{\frac{x+5}{x^2-9}} < 0,6^0$

Основание степени $a = 0,6$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$\frac{x+5}{x^2-9} > 0$

Разложим знаменатель на множители: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$. Неравенство примет вид:

$\frac{x+5}{(x-3)(x+3)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x=-5$, $x=-3$, $x=3$. Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки выражения в каждом из интервалов:

• При $x > 3$: $\frac{+}{(+)(+)} > 0$ (верно)
• При $-3 < x < 3$: $\frac{+}{(-)(+)} < 0$ (неверно)
• При $-5 < x < -3$: $\frac{+}{(-)(-)} > 0$ (верно)
• При $x < -5$: $\frac{-}{(-)(-)} < 0$ (неверно)

Объединяя интервалы, где неравенство верно, получаем решение:

$x \in (-5, -3) \cup (3, +\infty)$

Ответ: $(-5, -3) \cup (3, +\infty)$

4) $(\sin\frac{\pi}{6})^{x-0,5} > \sqrt{2}$

Сначала вычислим значение основания: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^{x-0,5} > \sqrt{2}$.

Приведем обе части к основанию 2:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} = 2^{0,5}$

Подставляем в неравенство:

$(2^{-1})^{x-0,5} > 2^{0,5}$

$2^{-(x-0,5)} > 2^{0,5}$

$2^{-x+0,5} > 2^{0,5}$

Основание $a=2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется.

$-x+0,5 > 0,5$

$-x > 0$

$x < 0$

Ответ: $(-\infty, 0)$

5) $(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} \le \frac{9}{4}$

Приведем правую часть к основанию $\frac{2}{3}$:

$\frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2 = ((\frac{2}{3})^{-1})^2 = (\frac{2}{3})^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{2}{3})^{\frac{4}{x}-3} \le (\frac{2}{3})^{-2}$

Основание $a = \frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$\frac{4}{x}-3 \ge -2$

Область допустимых значений: $x \ne 0$.

Решаем неравенство:

$\frac{4}{x} - 1 \ge 0$

$\frac{4-x}{x} \ge 0$

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=4$. Нули знаменателя: $x=0$.

• При $x > 4$: $\frac{-}{+} < 0$ (неверно)
• При $0 < x < 4$: $\frac{+}{+} > 0$ (верно). Так как неравенство нестрогое, $x=4$ включается в решение.
• При $x < 0$: $\frac{+}{-} < 0$ (неверно)

Решением является интервал $(0, 4]$.

Ответ: $(0, 4]$

6) $4 \cdot 0,5^{x(x+3)} \ge 0,25^{2x}$

Приведем все части неравенства к основанию 0,5.

$4 = \frac{1}{0,25} = \frac{1}{0,5^2} = 0,5^{-2}$

$0,25 = 0,5^2$

Подставляем в неравенство:

$0,5^{-2} \cdot 0,5^{x(x+3)} \ge (0,5^2)^{2x}$

Упрощаем, используя свойства степеней:

$0,5^{-2 + x^2 + 3x} \ge 0,5^{4x}$

Основание $a = 0,5$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный.

$x^2 + 3x - 2 \le 4x$

$x^2 - x - 2 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 2 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями (включая сами корни).

$x \in [-1, 2]$

Ответ: $[-1, 2]$

3.9. Решите неравенство:

1) $ \left(\frac{3}{7}\right)^{x^2 - x} < \frac{9}{49}; $

2) $ 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} \le \left(\frac{1}{8}\right)^{-3x}; $

3) $ 0,3^{\frac{x^2-4}{x-1}} > 1; $

4) $ \left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}\right)^{x-1} > 9^{-0,5}. $

1) $(\frac{3}{7})^{x^2-x} < \frac{9}{49}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{3}{7}$:
$\frac{9}{49} = (\frac{3}{7})^2$.

Получаем неравенство:
$(\frac{3}{7})^{x^2-x} < (\frac{3}{7})^2$.

Так как основание степени $a = \frac{3}{7}$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - x > 2$.

Перенесем все члены в левую часть и решим квадратное неравенство:
$x^2 - x - 2 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Парабола $y = x^2 - x - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 2 > 0$ выполняется при $x$, находящихся за пределами корней.

Следовательно, $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

2) $4 \cdot (\frac{1}{2})^{5x^2} \le (\frac{1}{8})^{-3x}$

Приведем все части неравенства к основанию 2:
$4 = 2^2$;
$\frac{1}{2} = 2^{-1}$;
$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

Подставим эти значения в исходное неравенство:
$2^2 \cdot (2^{-1})^{5x^2} \le (2^{-3})^{-3x}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:
$2^2 \cdot 2^{-5x^2} \le 2^{9x}$.

Используя свойство степени $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получим:
$2^{2-5x^2} \le 2^{9x}$.

Так как основание степени $a = 2$ и $a > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$2 - 5x^2 \le 9x$.

Перенесем все члены в одну сторону:
$-5x^2 - 9x + 2 \le 0$.

Умножим неравенство на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$5x^2 + 9x - 2 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$.
$x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Парабола $y = 5x^2 + 9x - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $5x^2 + 9x - 2 \ge 0$ выполняется при $x$, находящихся на корнях или за их пределами.

Следовательно, $x \in (-\infty; -2] \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$.

3) $0.3^{\frac{x^2-4}{x-1}} > 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,3:
$1 = 0.3^0$.

Неравенство принимает вид:
$0.3^{\frac{x^2-4}{x-1}} > 0.3^0$.

Так как основание степени $a = 0.3$ и $0 < a < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{x^2-4}{x-1} < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для показателя: знаменатель не равен нулю, $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Разложим числитель на множители:
$\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} < 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=2$, $x=-2$. Нуль знаменателя: $x=1$.
Отметим точки -2, 1, 2 на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом интервале.
Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 1)$, $(1; 2)$, $(2; +\infty)$.

Выражение $\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}$ отрицательно на интервалах $(-\infty; -2)$ и $(1; 2)$.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (1; 2)$.

4) $(\text{tg}\frac{\pi}{3})^{x-1} > 9^{-0.5}$

Вычислим значения оснований:
$\text{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$9^{-0.5} = 9^{-1/2} = \frac{1}{9^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

Неравенство принимает вид:
$(\sqrt{3})^{x-1} > \frac{1}{3}$.

Приведем обе части к основанию 3:
$\sqrt{3} = 3^{1/2}$;
$\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Подставим в неравенство:
$(3^{1/2})^{x-1} > 3^{-1}$.

Упростим левую часть:
$3^{\frac{x-1}{2}} > 3^{-1}$.

Так как основание степени $a = 3$ и $a > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$\frac{x-1}{2} > -1$.

Умножим обе части на 2:
$x - 1 > -2$.

Прибавим 1 к обеим частям:
$x > -1$.

Ответ: $(-1; +\infty)$.

3.10. Решите неравенство:

1) $7^{x+2} - 14 \cdot 7^x > 5$;

2) $9 \cdot 3^{x-1} + 3^x < 36$;

3) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} > 56$;

4) $\left(\frac{1}{5}\right)^{x-1} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x+1} \ge 26$;

5) $2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^{x+3} \le 650$;

6) $\left(\frac{3}{4}\right)^x - \left(\frac{3}{4}\right)^{x+1} > \frac{3}{16}$.

1) Исходное неравенство: $7^{x+2} - 14 \cdot 7^x > 5$.
Используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем член $7^{x+2}$ в $7^x \cdot 7^2 = 49 \cdot 7^x$.
Подставим это в неравенство: $49 \cdot 7^x - 14 \cdot 7^x > 5$.
Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки в левой части: $(49 - 14) \cdot 7^x > 5$.
Выполним вычитание в скобках: $35 \cdot 7^x > 5$.
Разделим обе части неравенства на 35: $7^x > \frac{5}{35}$.
Сократим дробь: $7^x > \frac{1}{7}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 7: $7^x > 7^{-1}$.
Так как основание степени $7 > 1$, функция $y=7^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется: $x > -1$.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $9 \cdot 3^{x-1} + 3^x < 36$.
Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, преобразуем член $3^{x-1}$ в $\frac{3^x}{3}$.
Подставим это в неравенство: $9 \cdot \frac{3^x}{3} + 3^x < 36$.
Упростим первое слагаемое: $3 \cdot 3^x + 3^x < 36$.
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки: $(3 + 1) \cdot 3^x < 36$.
$4 \cdot 3^x < 36$.
Разделим обе части неравенства на 4: $3^x < 9$.
Представим 9 в виде степени с основанием 3: $3^x < 3^2$.
Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^t$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется: $x < 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

3) Исходное неравенство: $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} > 56$.
Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $2^{x-2}$.
$2^x = 2^{x-2} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{x-2}$.
$2^{x-1} = 2^{x-2} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{x-2}$.
Подставим преобразованные члены в неравенство: $4 \cdot 2^{x-2} + 2 \cdot 2^{x-2} + 1 \cdot 2^{x-2} > 56$.
Вынесем $2^{x-2}$ за скобки: $(4 + 2 + 1) \cdot 2^{x-2} > 56$.
$7 \cdot 2^{x-2} > 56$.
Разделим обе части на 7: $2^{x-2} > \frac{56}{7}$.
$2^{x-2} > 8$.
Представим 8 в виде степени с основанием 2: $2^{x-2} > 2^3$.
Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется: $x - 2 > 3$.
$x > 5$.
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $(\frac{1}{5})^{x-1} + (\frac{1}{5})^{x+1} \geq 26$.
Преобразуем слагаемые, используя свойства степеней:
$(\frac{1}{5})^{x-1} = (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^{-1} = (\frac{1}{5})^x \cdot 5$.
$(\frac{1}{5})^{x+1} = (\frac{1}{5})^x \cdot (\frac{1}{5})^1 = (\frac{1}{5})^x \cdot \frac{1}{5}$.
Подставим в неравенство: $5 \cdot (\frac{1}{5})^x + \frac{1}{5} \cdot (\frac{1}{5})^x \geq 26$.
Вынесем общий множитель $(\frac{1}{5})^x$ за скобки: $(5 + \frac{1}{5}) \cdot (\frac{1}{5})^x \geq 26$.
$(\frac{25+1}{5}) \cdot (\frac{1}{5})^x \geq 26$.
$\frac{26}{5} \cdot (\frac{1}{5})^x \geq 26$.
Разделим обе части на $\frac{26}{5}$: $(\frac{1}{5})^x \geq 5$.
Представим 5 в виде степени с основанием $\frac{1}{5}$: $5 = (\frac{1}{5})^{-1}$.
$(\frac{1}{5})^x \geq (\frac{1}{5})^{-1}$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{5} < 1$, функция $y=(\frac{1}{5})^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный: $x \leq -1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

5) Исходное неравенство: $2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^{x+3} \leq 650$.
Преобразуем член $6^{x+3}$ как $6^x \cdot 6^3 = 216 \cdot 6^x$.
Подставим в неравенство: $2 \cdot 6^x + 3 \cdot (216 \cdot 6^x) \leq 650$.
$2 \cdot 6^x + 648 \cdot 6^x \leq 650$.
Вынесем общий множитель $6^x$ за скобки: $(2 + 648) \cdot 6^x \leq 650$.
$650 \cdot 6^x \leq 650$.
Разделим обе части на 650: $6^x \leq 1$.
Представим 1 в виде степени с основанием 6: $6^x \leq 6^0$.
Так как основание степени $6 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется: $x \leq 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

6) Исходное неравенство: $(\frac{3}{4})^x - (\frac{3}{4})^{x+1} > \frac{3}{16}$.
Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{3}{4})^x$.
$(\frac{3}{4})^x - (\frac{3}{4})^x \cdot \frac{3}{4} > \frac{3}{16}$.
$(\frac{3}{4})^x \cdot (1 - \frac{3}{4}) > \frac{3}{16}$.
$(\frac{3}{4})^x \cdot \frac{1}{4} > \frac{3}{16}$.
Умножим обе части неравенства на 4: $(\frac{3}{4})^x > \frac{3 \cdot 4}{16}$.
$(\frac{3}{4})^x > \frac{12}{16}$.
Сократим дробь в правой части: $(\frac{3}{4})^x > \frac{3}{4}$.
Можно записать как $(\frac{3}{4})^x > (\frac{3}{4})^1$.
Так как основание степени $0 < \frac{3}{4} < 1$, функция $y=(\frac{3}{4})^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный: $x < 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.

1) $3^{x+2} - 4 \cdot 3^x < 45;$

2) $(\frac{1}{2})^{x-2} - (\frac{1}{2})^x \le 3;$

3) $5^x + 5^{x-1} - 5^{x-2} > 145;$

4) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} < 1\frac{2}{3}.$

1) $3^{x+2} - 4 \cdot 3^x < 45$
Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем левую часть неравенства:
$3^x \cdot 3^2 - 4 \cdot 3^x < 45$
$9 \cdot 3^x - 4 \cdot 3^x < 45$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$(9 - 4) \cdot 3^x < 45$
$5 \cdot 3^x < 45$
Разделим обе части неравенства на 5:
$3^x < 9$
Представим 9 в виде степени с основанием 3:
$3^x < 3^2$
Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x < 2$
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$

2) $(\frac{1}{2})^{x-2} - (\frac{1}{2})^x \le 3$
Воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и преобразуем левую часть неравенства:
$(\frac{1}{2})^x \cdot (\frac{1}{2})^{-2} - (\frac{1}{2})^x \le 3$
$(\frac{1}{2})^x \cdot 4 - (\frac{1}{2})^x \le 3$
Вынесем общий множитель $(\frac{1}{2})^x$ за скобки:
$(4 - 1) \cdot (\frac{1}{2})^x \le 3$
$3 \cdot (\frac{1}{2})^x \le 3$
Разделим обе части неравенства на 3:
$(\frac{1}{2})^x \le 1$
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$:
$(\frac{1}{2})^x \le (\frac{1}{2})^0$
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge 0$
Ответ: $x \in [0; +\infty)$

3) $5^x + 5^{x-1} - 5^{x-2} > 145$
Преобразуем слагаемые в левой части, используя свойства степеней:
$5^x + 5^x \cdot 5^{-1} - 5^x \cdot 5^{-2} > 145$
Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:
$5^x(1 + 5^{-1} - 5^{-2}) > 145$
$5^x(1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{25}) > 145$
$5^x(\frac{25}{25} + \frac{5}{25} - \frac{1}{25}) > 145$
$5^x \cdot \frac{29}{25} > 145$
Разделим обе части на $\frac{29}{25}$ (что то же самое, что умножить на $\frac{25}{29}$):
$5^x > 145 \cdot \frac{25}{29}$
$5^x > 5 \cdot 25$
$5^x > 5^3$
Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x > 3$
Ответ: $x \in (3; +\infty)$

4) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} < 1\frac{2}{3}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
$(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} < \frac{5}{3}$
Преобразуем левую часть, используя свойства степеней:
$(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^x \cdot (\frac{2}{3})^{-1} < \frac{5}{3}$
Вынесем общий множитель $(\frac{2}{3})^x$ за скобки:
$(\frac{2}{3})^x (1 + (\frac{2}{3})^{-1}) < \frac{5}{3}$
$(\frac{2}{3})^x (1 + \frac{3}{2}) < \frac{5}{3}$
$(\frac{2}{3})^x \cdot \frac{5}{2} < \frac{5}{3}$
Разделим обе части на $\frac{5}{2}$ (что то же самое, что умножить на $\frac{2}{5}$):
$(\frac{2}{3})^x < \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{5}$
$(\frac{2}{3})^x < \frac{2}{3}$
Представим правую часть в виде степени:
$(\frac{2}{3})^x < (\frac{2}{3})^1$
Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$
Ответ: $x \in (1; +\infty)$

3.12. Решите неравенство:

1) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x - 45 > 0;$

2) $4^x + 2^{x+3} - 20 < 0;$

3) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 \le 0;$

4) $0.25^x - 12 \cdot 0.5^x + 32 \ge 0;$

5) $6^{2x-1} - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \le 0;$

6) $25^x + 5^x - 30 \ge 0.$

1) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x - 45 > 0$

Запишем неравенство в виде $(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x - 45 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $t^2 - 4t - 45 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t - 45 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 = 14^2$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{4 - 14}{2} = -5$ и $t_2 = \frac{4 + 14}{2} = 9$.

Решением неравенства $t^2 - 4t - 45 > 0$ является объединение промежутков $(-\infty; -5) \cup (9; +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем, что подходит только $t > 9$.

Выполним обратную замену: $3^x > 9$.

Так как $9 = 3^2$, то $3^x > 3^2$. Поскольку основание степени $3 > 1$, то $x > 2$.

Ответ: $(2; +\infty)$.

2) $4^x + 2^{x+3} - 20 < 0$

Преобразуем неравенство: $(2^2)^x + 2^x \cdot 2^3 - 20 < 0$, что равносильно $(2^x)^2 + 8 \cdot 2^x - 20 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 + 8t - 20 < 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + 8t - 20 = 0$. Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$. Корни: $t_1 = \frac{-8 - 12}{2} = -10$ и $t_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.

Решением неравенства $t^2 + 8t - 20 < 0$ является интервал $(-10; 2)$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < 2$.

Выполним обратную замену: $2^x < 2$.

Так как $2 = 2^1$, то $2^x < 2^1$. Поскольку основание степени $2 > 1$, то $x < 1$.

Ответ: $(-\infty; 1)$.

3) $49^x - 8 \cdot 7^x + 7 \le 0$

Перепишем неравенство: $(7^2)^x - 8 \cdot 7^x + 7 \le 0$, то есть $(7^x)^2 - 8 \cdot 7^x + 7 \le 0$.

Пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

Получаем неравенство: $t^2 - 8t + 7 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 8t + 7 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 7$.

Решением неравенства $t^2 - 8t + 7 \le 0$ является отрезок $[1; 7]$.

Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену: $1 \le 7^x \le 7$.

Запишем в виде $7^0 \le 7^x \le 7^1$. Так как основание $7 > 1$, то $0 \le x \le 1$.

Ответ: $[0; 1]$.

4) $0,25^x - 12 \cdot 0,5^x + 32 \ge 0$

Заметим, что $0,25 = (0,5)^2$. Неравенство принимает вид $(0,5^{x})^2 - 12 \cdot 0,5^x + 32 \ge 0$.

Пусть $t = 0,5^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 12t + 32 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 4$, $t_2 = 8$.

Решением неравенства $t^2 - 12t + 32 \ge 0$ является объединение промежутков $(-\infty; 4] \cup [8; +\infty)$.

Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t \le 4$ или $t \ge 8$.

Выполним обратную замену: $0,5^x \le 4$ или $0,5^x \ge 8$.

Решим первое неравенство: $(1/2)^x \le 2^2 \implies 2^{-x} \le 2^2$. Так как основание $2 > 1$, то $-x \le 2$, откуда $x \ge -2$.

Решим второе неравенство: $(1/2)^x \ge 2^3 \implies 2^{-x} \ge 2^3$. Так как основание $2 > 1$, то $-x \ge 3$, откуда $x \le -3$.

Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty; -3] \cup [-2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [-2; +\infty)$.

5) $6^{2x-1} - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \le 0$

Преобразуем неравенство: $6^{2x} \cdot 6^{-1} - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \le 0 \implies \frac{1}{6}(6^x)^2 - \frac{1}{3} \cdot 6^x - 4 \le 0$.

Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей: $(6^x)^2 - 2 \cdot 6^x - 24 \le 0$.

Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.

Получаем неравенство: $t^2 - 2t - 24 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 24 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$. Корни: $t_1 = \frac{2 - 10}{2} = -4$ и $t_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6$.

Решением неравенства $t^2 - 2t - 24 \le 0$ является отрезок $[-4; 6]$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t \le 6$.

Выполним обратную замену: $6^x \le 6$.

Так как $6 = 6^1$, то $6^x \le 6^1$. Поскольку основание $6 > 1$, то $x \le 1$.

Ответ: $(-\infty; 1]$.

6) $25^x + 5^x - 30 \ge 0$

Перепишем неравенство в виде $(5^x)^2 + 5^x - 30 \ge 0$.

Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Получаем неравенство: $t^2 + t - 30 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 + t - 30 = 0$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 = 11^2$. Корни: $t_1 = \frac{-1 - 11}{2} = -6$ и $t_2 = \frac{-1 + 11}{2} = 5$.

Решением неравенства $t^2 + t - 30 \ge 0$ является $(-\infty; -6] \cup [5; +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, подходит только $t \ge 5$.

Выполним обратную замену: $5^x \ge 5$.

Так как $5 = 5^1$, то $5^x \ge 5^1$. Поскольку основание $5 > 1$, то $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$.