Страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.11. Решите уравнение:

1) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 = 0;$

2) $4^{x+1} + 4^{1-x} = 10;$

3) $5^{2x-3} - 2 \cdot 5^{x-2} = 3;$

4) $9^x - 6 \cdot 3^{x-1} = 3;$

5) $3^{x+1} + 3^{2-x} = 28;$

6) $\frac{9}{2^x - 1} - \frac{21}{2^x + 1} = 2.$

2.12. Решите уравнение:

1) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$

2) $2^{3-2x} - 3 \cdot 2^{1-x} + 1 = 0;$

3) $5^x - 0,2^{x-1} = 4;$

4) $4^{x+0,5} + 7 \cdot 2^x = 4;$

5) $3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^{x-1} = 0,2;$

6) $\frac{5}{3^x - 6} + \frac{5}{3^x + 6} = 2.$

1) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{mn} = (a^m)^n$:

$3^{2x} \cdot 3^1 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

$3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $3^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$3y^2 - 10y + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$. Выполним обратную замену.

1) $3^x = y_1 = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$.

2) $3^x = y_2 = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.

Ответ: $-1; 1$.

2) $2^{3-2x} - 3 \cdot 2^{1-x} + 1 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$2^3 \cdot 2^{-2x} - 3 \cdot 2^1 \cdot 2^{-x} + 1 = 0$

$8 \cdot (2^{-x})^2 - 6 \cdot 2^{-x} + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{-x}$, при этом $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$8y^2 - 6y + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$. Выполним обратную замену.

1) $2^{-x} = y_1 = \frac{1}{4} \implies 2^{-x} = 2^{-2} \implies -x = -2 \implies x = 2$.

2) $2^{-x} = y_2 = \frac{1}{2} \implies 2^{-x} = 2^{-1} \implies -x = -1 \implies x = 1$.

Ответ: $1; 2$.

3) $5^x - 0.2^{x-1} = 4$

Преобразуем второй член уравнения, учитывая, что $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$:

$0.2^{x-1} = (5^{-1})^{x-1} = 5^{-(x-1)} = 5^{-x+1} = 5^{-x} \cdot 5^1 = \frac{5}{5^x}$

Подставим в исходное уравнение:

$5^x - \frac{5}{5^x} = 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 5^x$, где $y > 0$.

$y - \frac{5}{y} = 4$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$y^2 - 5 = 4y$

$y^2 - 4y - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 5$ и $y_2 = -1$.

Проверим условие $y > 0$. Корень $y_2 = -1$ не подходит. Корень $y_1 = 5$ подходит.

Выполним обратную замену: $5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

Ответ: $1$.

4) $4^{x+0.5} + 7 \cdot 2^x = 4$

Преобразуем первый член уравнения: $4^{x+0.5} = 4^x \cdot 4^{0.5} = (2^2)^x \cdot \sqrt{4} = (2^x)^2 \cdot 2 = 2 \cdot (2^x)^2$.

Подставим в исходное уравнение:

$2 \cdot (2^x)^2 + 7 \cdot 2^x = 4$

$2 \cdot (2^x)^2 + 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 2^x$, где $y > 0$.

$2y^2 + 7y - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корень $y_1 = -4$ не удовлетворяет условию $y > 0$. Корень $y_2 = \frac{1}{2}$ подходит.

Выполним обратную замену: $2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$.

Ответ: $-1$.

5) $3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^{x-1} = 0.2$

Преобразуем уравнение: $0.2 = \frac{1}{5}$.

$3 \cdot 5^{2x} \cdot 5^{-1} - 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5}$

$3 \cdot (5^x)^2 \cdot \frac{1}{5} - 2 \cdot 5^x \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$

Умножим обе части уравнения на 5:

$3 \cdot (5^x)^2 - 2 \cdot 5^x = 1$

$3 \cdot (5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 1 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 5^x$, где $y > 0$.

$3y^2 - 2y - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Корень $y_1 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $y > 0$. Корень $y_2 = 1$ подходит.

Выполним обратную замену: $5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x = 0$.

Ответ: $0$.

6) $\frac{5}{3^x - 6} + \frac{5}{3^x + 6} = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не равны нулю. $3^x - 6 \neq 0 \implies 3^x \neq 6$. $3^x + 6 \neq 0$, что выполняется для любого $x$, так как $3^x > 0$.

Сделаем замену. Пусть $y = 3^x$, где $y > 0$ и $y \neq 6$.

$\frac{5}{y - 6} + \frac{5}{y + 6} = 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{5(y+6) + 5(y-6)}{(y-6)(y+6)} = 2$

$\frac{5y + 30 + 5y - 30}{y^2 - 36} = 2$

$\frac{10y}{y^2 - 36} = 2$

Учитывая ОДЗ ($y \neq 6$), можем умножить обе части на знаменатель:

$10y = 2(y^2 - 36)$

Разделим обе части на 2:

$5y = y^2 - 36$

$y^2 - 5y - 36 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 9$ и $y_2 = -4$.

Проверим корни по условиям замены: $y > 0$ и $y \neq 6$.

Корень $y_2 = -4$ не подходит, так как $y$ должен быть положительным. Корень $y_1 = 9$ подходит ($9 > 0$ и $9 \neq 6$).

Выполним обратную замену: $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

Ответ: $2$.

2.13. Решите уравнение:

1) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 3^x - 3^{x-1} + 3^{x-2};$

2) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} = 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1};$

3) $7^x - 5^{x+2} = 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}.$

1) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 3^x - 3^{x-1} + 3^{x-2}$
Для решения данного уравнения преобразуем левую и правую части, вынеся за скобки общий множитель.
В левой части вынесем за скобки $2^{x-2}$:
$2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 2^{x-2} \cdot 2^2 + 2^{x-2} \cdot 2^1 + 2^{x-2} \cdot 1 = 2^{x-2}(2^2 + 2^1 + 1) = 2^{x-2}(4+2+1) = 7 \cdot 2^{x-2}$.
В правой части вынесем за скобки $3^{x-2}$:
$3^x - 3^{x-1} + 3^{x-2} = 3^{x-2} \cdot 3^2 - 3^{x-2} \cdot 3^1 + 3^{x-2} \cdot 1 = 3^{x-2}(3^2 - 3^1 + 1) = 3^{x-2}(9-3+1) = 7 \cdot 3^{x-2}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$7 \cdot 2^{x-2} = 7 \cdot 3^{x-2}$
Разделим обе части уравнения на 7:
$2^{x-2} = 3^{x-2}$
Разделим обе части на $3^{x-2}$ (это выражение никогда не равно нулю):
$\frac{2^{x-2}}{3^{x-2}} = 1$
$(\frac{2}{3})^{x-2} = 1$
Равенство верно, когда показатель степени равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

2) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} = 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}$
Сгруппируем члены уравнения с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:
$3^{x^2+2} - 3^{x^2-1} = 5^{x^2+1} + 5^{x^2-1}$
Вынесем общие множители за скобки в каждой части.
В левой части вынесем $3^{x^2-1}$:
$3^{x^2-1}(3^{3} - 1) = 3^{x^2-1}(27 - 1) = 26 \cdot 3^{x^2-1}$.
В правой части вынесем $5^{x^2-1}$:
$5^{x^2-1}(5^{2} + 1) = 5^{x^2-1}(25 + 1) = 26 \cdot 5^{x^2-1}$.
Уравнение принимает вид:
$26 \cdot 3^{x^2-1} = 26 \cdot 5^{x^2-1}$
Разделим обе части на 26:
$3^{x^2-1} = 5^{x^2-1}$
Разделим обе части на $5^{x^2-1}$:
$(\frac{3}{5})^{x^2-1} = 1$
Равенство верно, когда показатель степени равен нулю:
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Ответ: $x = \pm 1$.

3) $7^x - 5^{x+2} = 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}$
Сгруппируем члены уравнения с одинаковыми основаниями в разных частях:
$7^x - 2 \cdot 7^{x-1} = 5^{x+2} - 118 \cdot 5^{x-1}$
Вынесем за скобки общие множители.
В левой части вынесем $7^{x-1}$:
$7^{x-1}(7^1 - 2) = 7^{x-1}(5) = 5 \cdot 7^{x-1}$.
В правой части вынесем $5^{x-1}$:
$5^{x-1}(5^3 - 118) = 5^{x-1}(125 - 118) = 5^{x-1}(7) = 7 \cdot 5^{x-1}$.
Получаем уравнение:
$5 \cdot 7^{x-1} = 7 \cdot 5^{x-1}$
Разделим обе части уравнения на $5 \cdot 5^{x-1}$:
$\frac{7^{x-1}}{5^{x-1}} = \frac{7}{5}$
$(\frac{7}{5})^{x-1} = (\frac{7}{5})^1$
Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:
$x - 1 = 1$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

2.14. Решите уравнение:

1) $6^x + 6^{x-1} - 6^{x-2} = 7^x - 8 \cdot 7^{x-2}$;

2) $5^x - 2 \cdot 5^{x-1} = 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2}$;

3) $2^{\sqrt{x}+1} - 3^{\sqrt{x}} = 3^{\sqrt{x}-1} - 2^{\sqrt{x}}$.

1) $6^x + 6^{x-1} - 6^{x-2} = 7^x - 8 \cdot 7^{x-2}$

Для решения данного показательного уравнения преобразуем обе его части, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени для каждого основания. В левой части вынесем $6^{x-2}$, а в правой $7^{x-2}$.

$6^{x-2}(6^2 + 6^1 - 6^0) = 7^{x-2}(7^2 - 8 \cdot 7^0)$

Выполним вычисления в скобках:

$6^{x-2}(36 + 6 - 1) = 7^{x-2}(49 - 8)$

$6^{x-2} \cdot 41 = 7^{x-2} \cdot 41$

Разделим обе части уравнения на 41, так как $41 \neq 0$:

$6^{x-2} = 7^{x-2}$

Так как основания степеней ($6$ и $7$) различны и больше нуля, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю. Чтобы показать это формально, разделим обе части на $7^{x-2}$ (это выражение никогда не равно нулю):

$\frac{6^{x-2}}{7^{x-2}} = 1$

Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получим:

$(\frac{6}{7})^{x-2} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, мы можем записать $1$ как $(\frac{6}{7})^0$:

$(\frac{6}{7})^{x-2} = (\frac{6}{7})^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $2$

2) $5^x - 2 \cdot 5^{x-1} = 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения. В левой части вынесем $5^{x-1}$, а в правой $3^{x-2}$.

$5^{x-1}(5^1 - 2) = 3^{x-2}(3^3 - 2)$

Выполним вычисления в скобках:

$5^{x-1}(3) = 3^{x-2}(27 - 2)$

$3 \cdot 5^{x-1} = 25 \cdot 3^{x-2}$

Теперь сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3$ и на $3^{x-2}$:

$\frac{5^{x-1}}{25} = \frac{3^{x-2}}{3}$

Представим числа 25 и 3 как степени с основаниями 5 и 3 соответственно: $25 = 5^2$, $3 = 3^1$.

$\frac{5^{x-1}}{5^2} = \frac{3^{x-2}}{3^1}$

Используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{x-1-2} = 3^{x-2-1}$

$5^{x-3} = 3^{x-3}$

Разделим обе части на $3^{x-3} \neq 0$:

$\frac{5^{x-3}}{3^{x-3}} = 1$

$(\frac{5}{3})^{x-3} = 1$

$(\frac{5}{3})^{x-3} = (\frac{5}{3})^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $3$

3) $2^{\sqrt{x}+1} - 3^{\sqrt{x}} = 3^{\sqrt{x}-1} - 2^{\sqrt{x}}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$2^{\sqrt{x}+1} + 2^{\sqrt{x}} = 3^{\sqrt{x}-1} + 3^{\sqrt{x}}$

Вынесем общие множители за скобки. В левой части вынесем $2^{\sqrt{x}}$, а в правой $3^{\sqrt{x}-1}$.

$2^{\sqrt{x}}(2^1 + 1) = 3^{\sqrt{x}-1}(1 + 3^1)$

Выполним вычисления в скобках:

$2^{\sqrt{x}} \cdot 3 = 3^{\sqrt{x}-1} \cdot 4$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части на $3$ и на $2^{\sqrt{x}}$ (или на 4 и $3^{\sqrt{x}-1}$), чтобы собрать степени с основанием 2 слева, а с основанием 3 - справа.

$\frac{2^{\sqrt{x}}}{4} = \frac{3^{\sqrt{x}-1}}{3}$

Представим числа 4 и 3 как степени с основаниями 2 и 3 соответственно: $4 = 2^2$, $3 = 3^1$.

$\frac{2^{\sqrt{x}}}{2^2} = \frac{3^{\sqrt{x}-1}}{3^1}$

Используем свойство частного степеней:

$2^{\sqrt{x}-2} = 3^{(\sqrt{x}-1)-1}$

$2^{\sqrt{x}-2} = 3^{\sqrt{x}-2}$

Разделим обе части на $3^{\sqrt{x}-2} \neq 0$:

$\frac{2^{\sqrt{x}-2}}{3^{\sqrt{x}-2}} = 1$

$(\frac{2}{3})^{\sqrt{x}-2} = 1$

$(\frac{2}{3})^{\sqrt{x}-2} = (\frac{2}{3})^0$

Приравниваем показатели степеней:

$\sqrt{x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 4$

Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Ответ: $4$

2.15. Решите уравнение:

1) $27^{\frac{2}{x}} - 2 \cdot 3^{\frac{x+3}{x}} - 27 = 0;$

2) $\sqrt[3]{49^x} - 50\sqrt[3]{7^{x-3}} + 1 = 0;$

3) $2^{\sqrt{x+1}} = 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}} + 1;$

4) $3^{\sqrt{x-5}} + 3^{2-\sqrt{x-5}} = 6;$

5) $5 \cdot 2^{\cos^2 x} - 2^{\sin^2 x} = 3;$

6) $4^{\cos 2x} + 4^{\cos^2 x} = 3;$

7) $4\text{tg}^2 x + 2^{\frac{1}{\cos^2 x}} - 80 = 0.$

1) $27^{\frac{2}{x}} - 2 \cdot 3^{\frac{x+3}{x}} - 27 = 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.
Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 3:
$27^{\frac{2}{x}} = (3^3)^{\frac{2}{x}} = 3^{\frac{6}{x}}$
$3^{\frac{x+3}{x}} = 3^{\frac{x}{x} + \frac{3}{x}} = 3^{1 + \frac{3}{x}} = 3^1 \cdot 3^{\frac{3}{x}} = 3 \cdot 3^{\frac{3}{x}}$
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$3^{\frac{6}{x}} - 2 \cdot (3 \cdot 3^{\frac{3}{x}}) - 27 = 0$
$(3^{\frac{3}{x}})^2 - 6 \cdot 3^{\frac{3}{x}} - 27 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{\frac{3}{x}}$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 6y - 27 = 0$
Решим его. По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 9$ и $y_2 = -3$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому он является посторонним.
Следовательно, $y = 9$.
Вернемся к исходной переменной:
$3^{\frac{3}{x}} = 9$
$3^{\frac{3}{x}} = 3^2$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{3}{x} = 2$
$x = \frac{3}{2}$.
Корень $x = 1.5$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $x = \frac{3}{2}$.

2) $\sqrt[3]{49^x} - 50 \sqrt[3]{7^{x-3}} + 1 = 0$
Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 7:
$\sqrt[3]{49^x} = (49^x)^{\frac{1}{3}} = ((7^2)^x)^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{2x}{3}}$
$\sqrt[3]{7^{x-3}} = (7^{x-3})^{\frac{1}{3}} = 7^{\frac{x-3}{3}} = 7^{\frac{x}{3} - 1} = 7^{\frac{x}{3}} \cdot 7^{-1} = \frac{1}{7} \cdot 7^{\frac{x}{3}}$
Подставим в уравнение:
$7^{\frac{2x}{3}} - 50 \cdot (\frac{1}{7} \cdot 7^{\frac{x}{3}}) + 1 = 0$
$(7^{\frac{x}{3}})^2 - \frac{50}{7} \cdot 7^{\frac{x}{3}} + 1 = 0$
Сделаем замену. Пусть $y = 7^{\frac{x}{3}}$, где $y > 0$.
$y^2 - \frac{50}{7}y + 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от дроби:
$7y^2 - 50y + 7 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$.
$y_{1,2} = \frac{50 \pm \sqrt{2304}}{2 \cdot 7} = \frac{50 \pm 48}{14}$
$y_1 = \frac{50 + 48}{14} = \frac{98}{14} = 7$
$y_2 = \frac{50 - 48}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
Оба корня положительны, поэтому рассматриваем оба случая.
Случай 1: $y_1 = 7$.
$7^{\frac{x}{3}} = 7^1 \implies \frac{x}{3} = 1 \implies x_1 = 3$.
Случай 2: $y_2 = \frac{1}{7}$.
$7^{\frac{x}{3}} = 7^{-1} \implies \frac{x}{3} = -1 \implies x_2 = -3$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3$.

3) $2^{\sqrt{x+1}} = 3 \cdot 2^{2-\sqrt{x+1}} + 1$
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Преобразуем правую часть уравнения: $2^{2-\sqrt{x+1}} = 2^2 \cdot 2^{-\sqrt{x+1}} = \frac{4}{2^{\sqrt{x+1}}}$.
Уравнение принимает вид:
$2^{\sqrt{x+1}} = 3 \cdot \frac{4}{2^{\sqrt{x+1}}} + 1$
$2^{\sqrt{x+1}} = \frac{12}{2^{\sqrt{x+1}}} + 1$
Сделаем замену. Пусть $y = 2^{\sqrt{x+1}}$. Так как $\sqrt{x+1} \ge 0$, то $y = 2^{\sqrt{x+1}} \ge 2^0 = 1$.
$y = \frac{12}{y} + 1$
Умножим на $y$ (так как $y \ge 1$, то $y \neq 0$):
$y^2 = 12 + y$
$y^2 - y - 12 = 0$
По теореме Виета, корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$.
Значит, $y = 4$.
Вернемся к замене:
$2^{\sqrt{x+1}} = 4$
$2^{\sqrt{x+1}} = 2^2$
$\sqrt{x+1} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$x+1 = 4 \implies x=3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$).
Ответ: $x = 3$.

4) $3^{\sqrt{x-5}} + 3^{2-\sqrt{x-5}} = 6$
ОДЗ: $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$.
Преобразуем второе слагаемое: $3^{2-\sqrt{x-5}} = 3^2 \cdot 3^{-\sqrt{x-5}} = \frac{9}{3^{\sqrt{x-5}}}$.
Уравнение принимает вид:
$3^{\sqrt{x-5}} + \frac{9}{3^{\sqrt{x-5}}} = 6$
Сделаем замену. Пусть $y = 3^{\sqrt{x-5}}$. Так как $\sqrt{x-5} \ge 0$, то $y = 3^{\sqrt{x-5}} \ge 3^0 = 1$.
$y + \frac{9}{y} = 6$
Умножим на $y$ (так как $y \ge 1$, то $y \neq 0$):
$y^2 + 9 = 6y$
$y^2 - 6y + 9 = 0$
Это полный квадрат: $(y-3)^2 = 0$.
Отсюда $y=3$.
Корень $y=3$ удовлетворяет условию $y \ge 1$.
Вернемся к замене:
$3^{\sqrt{x-5}} = 3$
$3^{\sqrt{x-5}} = 3^1$
$\sqrt{x-5} = 1$
Возведем в квадрат:
$x-5 = 1 \implies x=6$.
Корень $x=6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \ge 5$).
Ответ: $x = 6$.

5) $5 \cdot 2^{\cos^2 x} - 2^{\sin^2 x} = 3$
Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.
Подставим в уравнение:
$5 \cdot 2^{\cos^2 x} - 2^{1-\cos^2 x} = 3$
$5 \cdot 2^{\cos^2 x} - \frac{2}{2^{\cos^2 x}} = 3$
Сделаем замену. Пусть $y = 2^{\cos^2 x}$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $2^0 \le 2^{\cos^2 x} \le 2^1$, то есть $1 \le y \le 2$.
$5y - \frac{2}{y} = 3$
Умножим на $y$ (так как $y \ge 1$, то $y \neq 0$):
$5y^2 - 2 = 3y$
$5y^2 - 3y - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$y_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{10}$
$y_1 = \frac{3+7}{10} = 1$
$y_2 = \frac{3-7}{10} = -0.4$
Корень $y_2 = -0.4$ не удовлетворяет условию $1 \le y \le 2$.
Следовательно, $y = 1$.
Вернемся к замене:
$2^{\cos^2 x} = 1$
$2^{\cos^2 x} = 2^0$
$\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0$.
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

6) $4^{\cos 2x} + 4^{\cos^2 x} = 3$
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Подставим в уравнение:
$4^{2\cos^2 x - 1} + 4^{\cos^2 x} = 3$
$\frac{4^{2\cos^2 x}}{4} + 4^{\cos^2 x} = 3$
$\frac{(4^{\cos^2 x})^2}{4} + 4^{\cos^2 x} = 3$
Сделаем замену. Пусть $y = 4^{\cos^2 x}$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $4^0 \le 4^{\cos^2 x} \le 4^1$, то есть $1 \le y \le 4$.
$\frac{y^2}{4} + y = 3$
Умножим на 4:
$y^2 + 4y = 12$
$y^2 + 4y - 12 = 0$
По теореме Виета, корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -6$.
Корень $y_2 = -6$ не удовлетворяет условию $1 \le y \le 4$.
Следовательно, $y = 2$.
Вернемся к замене:
$4^{\cos^2 x} = 2$
$(2^2)^{\cos^2 x} = 2^1$
$2^{2\cos^2 x} = 2^1$
$2\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2}$.
$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решениями этого уравнения являются $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

7) $4^{\tg^2 x} + 2^{\frac{1}{\cos^2 x}} - 80 = 0$
ОДЗ: $\cos x \neq 0$, что эквивалентно $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Используем тригонометрическое тождество: $\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tg^2 x$.
Подставим в уравнение:
$4^{\tg^2 x} + 2^{1+\tg^2 x} - 80 = 0$
$(2^2)^{\tg^2 x} + 2^1 \cdot 2^{\tg^2 x} - 80 = 0$
$(2^{\tg^2 x})^2 + 2 \cdot 2^{\tg^2 x} - 80 = 0$
Сделаем замену. Пусть $y = 2^{\tg^2 x}$. Так как $\tg^2 x \ge 0$, то $y = 2^{\tg^2 x} \ge 2^0 = 1$.
$y^2 + 2y - 80 = 0$
По теореме Виета, корни: $y_1 = 8$ и $y_2 = -10$.
Корень $y_2 = -10$ не удовлетворяет условию $y \ge 1$.
Следовательно, $y = 8$.
Вернемся к замене:
$2^{\tg^2 x} = 8$
$2^{\tg^2 x} = 2^3$
$\tg^2 x = 3 \implies \tg x = \pm \sqrt{3}$.
Если $\tg x = \sqrt{3}$, то $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Если $\tg x = -\sqrt{3}$, то $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Эти две серии решений можно объединить: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2.16. Решите уравнение:

1) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{2x+3}{x}} - 32 = 0;$

2) $5^{\sqrt{x-2}} - 5^{1-\sqrt{x-2}} - 4 = 0;$

3) $2^{\cos 2x} - 3 \cdot 2^{\cos^2 x} + 4 = 0.$

1) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{2x+3}{x}} - 32 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби в показателе степени не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$.

Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 2.
$8^{\frac{2}{x}} = (2^3)^{\frac{2}{x}} = 2^{\frac{6}{x}}$
$2^{\frac{2x+3}{x}} = 2^{\frac{2x}{x} + \frac{3}{x}} = 2^{2 + \frac{3}{x}} = 2^2 \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 4 \cdot 2^{\frac{3}{x}}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:
$2^{\frac{6}{x}} - 4 \cdot 2^{\frac{3}{x}} - 32 = 0$
Заметим, что $2^{\frac{6}{x}} = (2^{\frac{3}{x}})^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\frac{3}{x}}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Уравнение примет вид квадратного уравнения:
$t^2 - 4t - 32 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета.
Сумма корней равна 4, произведение равно -32.
$t_1 = 8$
$t_2 = -4$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.
$t_1 = 8$ - удовлетворяет условию.
$t_2 = -4$ - не удовлетворяет условию, так как $t$ не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену для $t_1 = 8$:
$2^{\frac{3}{x}} = 8$
$2^{\frac{3}{x}} = 2^3$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{3}{x} = 3$
$x = 1$

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: 1

2) $5^{\sqrt{x-2}} - 5^{1-\sqrt{x-2}} - 4 = 0$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Преобразуем второе слагаемое:
$5^{1-\sqrt{x-2}} = 5^1 \cdot 5^{-\sqrt{x-2}} = \frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}}$

Подставим преобразованное выражение в уравнение:
$5^{\sqrt{x-2}} - \frac{5}{5^{\sqrt{x-2}}} - 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^{\sqrt{x-2}}$.
Так как $\sqrt{x-2} \ge 0$, то $t = 5^{\sqrt{x-2}} \ge 5^0 = 1$. Итак, $t \ge 1$.
Уравнение примет вид:
$t - \frac{5}{t} - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \ge 1$, то $t \neq 0$):
$t^2 - 5 - 4t = 0$
$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета.
Сумма корней равна 4, произведение равно -5.
$t_1 = 5$
$t_2 = -1$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 1$.
$t_1 = 5$ - удовлетворяет условию.
$t_2 = -1$ - не удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_1 = 5$:
$5^{\sqrt{x-2}} = 5$
$5^{\sqrt{x-2}} = 5^1$
Приравниваем показатели степеней:
$\sqrt{x-2} = 1$
Возводим обе части в квадрат:
$x-2 = 1$
$x = 3$

Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: 3

3) $2^{\cos(2x)} - 3 \cdot 2^{\cos^2(x)} + 4 = 0$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$.
Подставим это в уравнение:
$2^{2\cos^2(x) - 1} - 3 \cdot 2^{\cos^2(x)} + 4 = 0$

Преобразуем первое слагаемое:
$2^{2\cos^2(x) - 1} = \frac{2^{2\cos^2(x)}}{2^1} = \frac{(2^{\cos^2(x)})^2}{2}$
Уравнение примет вид:
$\frac{(2^{\cos^2(x)})^2}{2} - 3 \cdot 2^{\cos^2(x)} + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\cos^2(x)}$.
Так как область значений функции $\cos^2(x)$ - это отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \cos^2(x) \le 1$, то
$2^0 \le 2^{\cos^2(x)} \le 2^1$, следовательно, $1 \le t \le 2$.

Подставим $t$ в уравнение:
$\frac{t^2}{2} - 3t + 4 = 0$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 - 6t + 8 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета.
Сумма корней равна 6, произведение равно 8.
$t_1 = 4$
$t_2 = 2$

Проверим корни на соответствие условию $1 \le t \le 2$.
$t_1 = 4$ - не удовлетворяет условию, так как $4 > 2$.
$t_2 = 2$ - удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t_2 = 2$:
$2^{\cos^2(x)} = 2$
$2^{\cos^2(x)} = 2^1$
Приравниваем показатели степеней:
$\cos^2(x) = 1$
Это равносильно тому, что $\cos(x) = 1$ или $\cos(x) = -1$.

Решения этих простейших тригонометрических уравнений можно объединить в одну серию:
$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ (целые числа).

Ответ: $\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2.17. Решите уравнение:

1) $3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0;$

2) $2^{2x+1} - 7 \cdot 10^x + 25^{x+0.5} = 0;$

3) $7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x = 4 \cdot 16^x;$

4) $9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x.$

1) Исходное уравнение: $3 \cdot 2^{2x} - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 3^{2x} = 0$.
Это однородное показательное уравнение. Преобразуем его, используя свойства степеней:
$2^{2x} = (2^x)^2 = 4^x$
$6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$
$3^{2x} = (3^x)^2 = 9^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$3 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^x \cdot 3^x + 2 \cdot 9^x = 0$
Разделим обе части уравнения на $9^x$. Так как $9^x > 0$ при любом $x$, это преобразование является равносильным.
$3 \cdot \frac{4^x}{9^x} - 5 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{9^x} + 2 \cdot \frac{9^x}{9^x} = 0$
$3 \cdot (\frac{4}{9})^x - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 2 = 0$
$3 \cdot ((\frac{2}{3})^2)^x - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 2 = 0$
$3 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - 5 \cdot (\frac{2}{3})^x + 2 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Так как основание степени положительно, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 5t + 2 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$.
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{6} = 1$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $t > 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.
1. $(\frac{2}{3})^x = t_1 = 1 \implies (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^0 \implies x_1 = 0$.
2. $(\frac{2}{3})^x = t_2 = \frac{2}{3} \implies (\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^1 \implies x_2 = 1$.
Ответ: $0; 1$.

2) Исходное уравнение: $2^{2x+1} - 7 \cdot 10^x + 25^{x+0.5} = 0$.
Преобразуем каждый член уравнения:
$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^2)^x = 2 \cdot 4^x$
$10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$
$25^{x+0.5} = 25^x \cdot 25^{0.5} = (5^2)^x \cdot \sqrt{25} = 5^{2x} \cdot 5 = 5 \cdot (5^x)^2$
Уравнение принимает вид:
$2 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^x \cdot 5^x + 5 \cdot 5^{2x} = 0$
Это однородное уравнение. Разделим обе части на $5^{2x}$ (так как $5^{2x} > 0$ для всех $x$):
$2 \cdot \frac{4^x}{5^{2x}} - 7 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{5^{2x}} + 5 \cdot \frac{5^{2x}}{5^{2x}} = 0$
$2 \cdot (\frac{4}{25})^x - 7 \cdot (\frac{2}{5})^x + 5 = 0$
$2 \cdot ((\frac{2}{5})^2)^x - 7 \cdot (\frac{2}{5})^x + 5 = 0$
$2 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} - 7 \cdot (\frac{2}{5})^x + 5 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 7t + 5 = 0$.
Найдем его корни:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.
$t_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{4} = \frac{7+3}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$
$t_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{4} = \frac{7-3}{4} = \frac{4}{4} = 1$
Оба корня положительны. Вернемся к замене:
1. $(\frac{2}{5})^x = t_1 = \frac{5}{2} \implies (\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^{-1} \implies x_1 = -1$.
2. $(\frac{2}{5})^x = t_2 = 1 \implies (\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^0 \implies x_2 = 0$.
Ответ: $-1; 0$.

3) Исходное уравнение: $7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x = 4 \cdot 16^x$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$7 \cdot 49^x + 3 \cdot 28^x - 4 \cdot 16^x = 0$
Представим основания степеней через простые множители:
$49^x = (7^2)^x = 7^{2x}$
$28^x = (4 \cdot 7)^x = 4^x \cdot 7^x$
$16^x = (4^2)^x = 4^{2x}$
Уравнение примет вид:
$7 \cdot 7^{2x} + 3 \cdot 4^x \cdot 7^x - 4 \cdot 4^{2x} = 0$
Разделим обе части на $4^{2x} > 0$:
$7 \cdot \frac{7^{2x}}{4^{2x}} + 3 \cdot \frac{4^x \cdot 7^x}{4^{2x}} - 4 \cdot \frac{4^{2x}}{4^{2x}} = 0$
$7 \cdot (\frac{7}{4})^{2x} + 3 \cdot (\frac{7}{4})^x - 4 = 0$
Сделаем замену. Пусть $t = (\frac{7}{4})^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $7t^2 + 3t - 4 = 0$.
Найдем его корни:
$D = 3^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.
$t_1 = \frac{-3 + 11}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$
$t_2 = \frac{-3 - 11}{14} = \frac{-14}{14} = -1$
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому отбрасываем его.
Вернемся к замене для $t_1$:
$(\frac{7}{4})^x = \frac{4}{7} \implies (\frac{7}{4})^x = (\frac{7}{4})^{-1} \implies x = -1$.
Ответ: $-1$.

4) Исходное уравнение: $9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$9^x - 2 \cdot 6^x + 4^x = 0$
Представим степени с составными основаниями через степени с простыми основаниями:
$(3^2)^x - 2 \cdot (2 \cdot 3)^x + (2^2)^x = 0$
$(3^x)^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 3^x + (2^x)^2 = 0$
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3^x$ и $b = 2^x$.
Свернем выражение:
$(3^x - 2^x)^2 = 0$
Это уравнение равносильно следующему:
$3^x - 2^x = 0$
$3^x = 2^x$
Поскольку $2^x \neq 0$ ни при каком $x$, разделим обе части на $2^x$:
$\frac{3^x}{2^x} = 1$
$(\frac{3}{2})^x = 1$
Представим 1 как степень с основанием $\frac{3}{2}$:
$(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^0$
Отсюда следует, что $x=0$.
Ответ: $0$.

2.18. Решите уравнение:

1) $4 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x = 0;$

2) $5 \cdot 2^{x+2} \cdot 5^x = 7 \cdot 10^{\frac{x}{2}};$

1) $4 \cdot 9^x - 7 \cdot 12^x + 3 \cdot 16^x = 0$

Это однородное показательное уравнение. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$, $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$ и $12^x = (3 \cdot 4)^x = 3^x \cdot 4^x$.

Перепишем уравнение в виде:

$4 \cdot (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x \cdot 4^x + 3 \cdot (4^x)^2 = 0$

Поскольку $16^x = (4^x)^2$ всегда больше нуля ($16^x > 0$ при любом $x$), мы можем разделить обе части уравнения на $16^x$:

$4 \cdot \frac{(3^x)^2}{(4^x)^2} - 7 \cdot \frac{3^x \cdot 4^x}{(4^x)^2} + 3 \cdot \frac{(4^x)^2}{(4^x)^2} = 0$

$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{2x} - 7 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{3}{4}\right)^x$. Так как показательная функция с положительным основанием всегда положительна, то $t > 0$. Уравнение принимает вид квадратного:

$4t^2 - 7t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$

Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $t > 0$. Вернемся к исходной переменной $x$.

1. При $t = \frac{3}{4}$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{3}{4}$

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^1$

$x_1 = 1$

2. При $t = 1$:

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = 1$

$\left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^0$

$x_2 = 0$

Ответ: $0; 1$.

2) $5 \cdot 2^x + 2 \cdot 5^x = 7 \cdot 10^{\frac{x}{2}}$

Это также показательное уравнение, которое можно свести к однородному. Представим члены уравнения через степени с показателем $\frac{x}{2}$:

$2^x = (2^{\frac{x}{2}})^2$

$5^x = (5^{\frac{x}{2}})^2$

$10^{\frac{x}{2}} = (2 \cdot 5)^{\frac{x}{2}} = 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$5 \cdot (2^{\frac{x}{2}})^2 + 2 \cdot (5^{\frac{x}{2}})^2 = 7 \cdot 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}}$

Перенесем все члены в левую часть:

$5 \cdot (2^{\frac{x}{2}})^2 - 7 \cdot 2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}} + 2 \cdot (5^{\frac{x}{2}})^2 = 0$

Разделим обе части уравнения на $(5^{\frac{x}{2}})^2 = 5^x$, что всегда больше нуля:

$5 \cdot \frac{(2^{\frac{x}{2}})^2}{(5^{\frac{x}{2}})^2} - 7 \cdot \frac{2^{\frac{x}{2}} \cdot 5^{\frac{x}{2}}}{(5^{\frac{x}{2}})^2} + 2 \cdot \frac{(5^{\frac{x}{2}})^2}{(5^{\frac{x}{2}})^2} = 0$

$5 \cdot \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}}\right)^2 - 7 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}}$. Условие $t>0$ выполняется. Уравнение становится квадратным:

$5t^2 - 7t + 2 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 49 - 40 = 9$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 3}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 3}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

Оба корня положительны. Выполним обратную замену.

1. При $t = \frac{2}{5}$:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \frac{2}{5}$

$\frac{x}{2} = 1 \implies x_1 = 2$

2. При $t = 1$:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = 1$

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{2}} = \left(\frac{2}{5}\right)^0$

$\frac{x}{2} = 0 \implies x_2 = 0$

Ответ: $0; 2$.

2.19. Решите уравнение $\sqrt{4^x - 2^x - 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x - 7}.$

Данное уравнение $\sqrt{4^x - 2^x - 3} = \sqrt{4 \cdot 2^x - 7}$ является иррациональным. Для его решения необходимо в первую очередь определить область допустимых значений (ОДЗ).

По определению арифметического квадратного корня, выражения под знаками корней должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases}4^x - 2^x - 3 \ge 0 \\4 \cdot 2^x - 7 \ge 0\end{cases}$

Рассмотрим каждое неравенство отдельно. Для удобства введем замену $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Учтем, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = t^2$.

Решим первое неравенство: $t^2 - t - 3 \ge 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - t - 3 = 0$ по формуле корней:$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$.$t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.Графиком функции $y = t^2 - t - 3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le \frac{1 - \sqrt{13}}{2}$ или $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. С учетом условия $t > 0$, получаем $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Решим второе неравенство: $4 \cdot 2^x - 7 \ge 0$.$4 \cdot 2^x \ge 7$$2^x \ge \frac{7}{4}$.В терминах переменной $t$ это означает $t \ge \frac{7}{4}$.

ОДЗ определяется пересечением полученных решений, то есть $t$ должно удовлетворять обоим условиям: $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ и $t \ge \frac{7}{4}$.Сравним числа $\frac{1 + \sqrt{13}}{2}$ и $\frac{7}{4}$.$\frac{7}{4} = 1.75$.Так как $3 < \sqrt{13} < 4$, то $1+3 < 1+\sqrt{13} < 1+4$, то есть $4 < 1+\sqrt{13} < 5$.Тогда $\frac{4}{2} < \frac{1+\sqrt{13}}{2} < \frac{5}{2}$, то есть $2 < \frac{1+\sqrt{13}}{2} < 2.5$.Поскольку $1.75 < 2$, имеем $\frac{7}{4} < \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.Таким образом, более сильным является условие $t \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$, или, возвращаясь к исходной переменной, $2^x \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Теперь решим само уравнение. На области допустимых значений обе части уравнения неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат:

$4^x - 2^x - 3 = 4 \cdot 2^x - 7$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$4^x - 2^x - 4 \cdot 2^x - 3 + 7 = 0$

$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

Снова применим замену $t = 2^x$ ($t > 0$):

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1) $2^x = t_1 = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

2) $2^x = t_2 = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ: $2^x \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.

Для $x = 0$: $2^0 = 1$. Проверяем неравенство $1 \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. Умножим обе части на 2: $2 \ge 1 + \sqrt{13}$, что равносильно $1 \ge \sqrt{13}$. Это неверно, так как $1 < \sqrt{13}$. Следовательно, $x=0$ является посторонним корнем.

Для $x = 2$: $2^2 = 4$. Проверяем неравенство $4 \ge \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$. Умножим обе части на 2: $8 \ge 1 + \sqrt{13}$, что равносильно $7 \ge \sqrt{13}$. Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат: $49 \ge 13$. Это верное неравенство. Следовательно, $x=2$ является решением уравнения.

Ответ: $2$.

2.20. Решите уравнение $\sqrt{1 + 3^x - 9^x} = \sqrt{4 - 3 \cdot 3^x}$.

Данное уравнение является иррациональным показательным уравнением. Исходное уравнение:

$\sqrt{1 + 3^x - 9^x} = \sqrt{4 - 3 \cdot 3^x}$

Для решения такого уравнения необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 1 + 3^x - 9^x \ge 0 \\ 4 - 3 \cdot 3^x \ge 0 \end{cases} $

При условии выполнения ОДЗ мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, так как обе части неотрицательны. Это преобразование будет равносильным.

$1 + 3^x - 9^x = 4 - 3 \cdot 3^x$

Для дальнейшего решения введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=a^x$ при $a>0$ принимает только положительные значения, то $t > 0$. Также отметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$1 + t - t^2 = 4 - 3t$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - t - 3t - 1 + 4 = 0$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $t_1 + t_2 = 4$
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 3$

Отсюда находим корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ. Запишем ОДЗ в терминах переменной $t$:

$ \begin{cases} 1 + t - t^2 \ge 0 \\ 4 - 3t \ge 0 \\ t > 0 \end{cases} $

Проверка для $t_1 = 1$:

1) $1 + 1 - 1^2 = 1 \ge 0$ (верно)

2) $4 - 3 \cdot 1 = 1 \ge 0$ (верно)

3) $1 > 0$ (верно)

Все условия выполняются, следовательно, $t_1 = 1$ является решением.

Проверка для $t_2 = 3$:

1) $1 + 3 - 3^2 = 4 - 9 = -5$. Условие $-5 \ge 0$ не выполняется.

Можно не проверять остальные условия. Корень $t_2 = 3$ является посторонним.

Таким образом, у нас есть единственное решение для $t$: $t = 1$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$3^x = t$

$3^x = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, мы можем записать $1$ как $3^0$:

$3^x = 3^0$

Отсюда получаем:

$x = 0$

Ответ: $0$