Номер 2.13, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.13, страница 20.

2.13. Решите уравнение:

1) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 3^x - 3^{x-1} + 3^{x-2};$

2) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} = 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1};$

3) $7^x - 5^{x+2} = 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}.$

1) $2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 3^x - 3^{x-1} + 3^{x-2}$
Для решения данного уравнения преобразуем левую и правую части, вынеся за скобки общий множитель.
В левой части вынесем за скобки $2^{x-2}$:
$2^x + 2^{x-1} + 2^{x-2} = 2^{x-2} \cdot 2^2 + 2^{x-2} \cdot 2^1 + 2^{x-2} \cdot 1 = 2^{x-2}(2^2 + 2^1 + 1) = 2^{x-2}(4+2+1) = 7 \cdot 2^{x-2}$.
В правой части вынесем за скобки $3^{x-2}$:
$3^x - 3^{x-1} + 3^{x-2} = 3^{x-2} \cdot 3^2 - 3^{x-2} \cdot 3^1 + 3^{x-2} \cdot 1 = 3^{x-2}(3^2 - 3^1 + 1) = 3^{x-2}(9-3+1) = 7 \cdot 3^{x-2}$.
Теперь уравнение имеет вид:
$7 \cdot 2^{x-2} = 7 \cdot 3^{x-2}$
Разделим обе части уравнения на 7:
$2^{x-2} = 3^{x-2}$
Разделим обе части на $3^{x-2}$ (это выражение никогда не равно нулю):
$\frac{2^{x-2}}{3^{x-2}} = 1$
$(\frac{2}{3})^{x-2} = 1$
Равенство верно, когда показатель степени равен нулю, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1.
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

2) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} = 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}$
Сгруппируем члены уравнения с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:
$3^{x^2+2} - 3^{x^2-1} = 5^{x^2+1} + 5^{x^2-1}$
Вынесем общие множители за скобки в каждой части.
В левой части вынесем $3^{x^2-1}$:
$3^{x^2-1}(3^{3} - 1) = 3^{x^2-1}(27 - 1) = 26 \cdot 3^{x^2-1}$.
В правой части вынесем $5^{x^2-1}$:
$5^{x^2-1}(5^{2} + 1) = 5^{x^2-1}(25 + 1) = 26 \cdot 5^{x^2-1}$.
Уравнение принимает вид:
$26 \cdot 3^{x^2-1} = 26 \cdot 5^{x^2-1}$
Разделим обе части на 26:
$3^{x^2-1} = 5^{x^2-1}$
Разделим обе части на $5^{x^2-1}$:
$(\frac{3}{5})^{x^2-1} = 1$
Равенство верно, когда показатель степени равен нулю:
$x^2 - 1 = 0$
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$
Ответ: $x = \pm 1$.

3) $7^x - 5^{x+2} = 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}$
Сгруппируем члены уравнения с одинаковыми основаниями в разных частях:
$7^x - 2 \cdot 7^{x-1} = 5^{x+2} - 118 \cdot 5^{x-1}$
Вынесем за скобки общие множители.
В левой части вынесем $7^{x-1}$:
$7^{x-1}(7^1 - 2) = 7^{x-1}(5) = 5 \cdot 7^{x-1}$.
В правой части вынесем $5^{x-1}$:
$5^{x-1}(5^3 - 118) = 5^{x-1}(125 - 118) = 5^{x-1}(7) = 7 \cdot 5^{x-1}$.
Получаем уравнение:
$5 \cdot 7^{x-1} = 7 \cdot 5^{x-1}$
Разделим обе части уравнения на $5 \cdot 5^{x-1}$:
$\frac{7^{x-1}}{5^{x-1}} = \frac{7}{5}$
$(\frac{7}{5})^{x-1} = (\frac{7}{5})^1$
Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:
$x - 1 = 1$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.