Номер 2.12, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.12, страница 20.

2.12. Решите уравнение:

1) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0;$

2) $2^{3-2x} - 3 \cdot 2^{1-x} + 1 = 0;$

3) $5^x - 0,2^{x-1} = 4;$

4) $4^{x+0,5} + 7 \cdot 2^x = 4;$

5) $3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^{x-1} = 0,2;$

6) $\frac{5}{3^x - 6} + \frac{5}{3^x + 6} = 2.$

1) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{mn} = (a^m)^n$:

$3^{2x} \cdot 3^1 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

$3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $3^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$3y^2 - 10y + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$. Выполним обратную замену.

1) $3^x = y_1 = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$.

2) $3^x = y_2 = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.

Ответ: $-1; 1$.

2) $2^{3-2x} - 3 \cdot 2^{1-x} + 1 = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$2^3 \cdot 2^{-2x} - 3 \cdot 2^1 \cdot 2^{-x} + 1 = 0$

$8 \cdot (2^{-x})^2 - 6 \cdot 2^{-x} + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{-x}$, при этом $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$8y^2 - 6y + 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 36 - 32 = 4$.

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 - 2}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{6 + 2}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$. Выполним обратную замену.

1) $2^{-x} = y_1 = \frac{1}{4} \implies 2^{-x} = 2^{-2} \implies -x = -2 \implies x = 2$.

2) $2^{-x} = y_2 = \frac{1}{2} \implies 2^{-x} = 2^{-1} \implies -x = -1 \implies x = 1$.

Ответ: $1; 2$.

3) $5^x - 0.2^{x-1} = 4$

Преобразуем второй член уравнения, учитывая, что $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$:

$0.2^{x-1} = (5^{-1})^{x-1} = 5^{-(x-1)} = 5^{-x+1} = 5^{-x} \cdot 5^1 = \frac{5}{5^x}$

Подставим в исходное уравнение:

$5^x - \frac{5}{5^x} = 4$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 5^x$, где $y > 0$.

$y - \frac{5}{y} = 4$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$y^2 - 5 = 4y$

$y^2 - 4y - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 5$ и $y_2 = -1$.

Проверим условие $y > 0$. Корень $y_2 = -1$ не подходит. Корень $y_1 = 5$ подходит.

Выполним обратную замену: $5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

Ответ: $1$.

4) $4^{x+0.5} + 7 \cdot 2^x = 4$

Преобразуем первый член уравнения: $4^{x+0.5} = 4^x \cdot 4^{0.5} = (2^2)^x \cdot \sqrt{4} = (2^x)^2 \cdot 2 = 2 \cdot (2^x)^2$.

Подставим в исходное уравнение:

$2 \cdot (2^x)^2 + 7 \cdot 2^x = 4$

$2 \cdot (2^x)^2 + 7 \cdot 2^x - 4 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 2^x$, где $y > 0$.

$2y^2 + 7y - 4 = 0$

Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

$y_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Корень $y_1 = -4$ не удовлетворяет условию $y > 0$. Корень $y_2 = \frac{1}{2}$ подходит.

Выполним обратную замену: $2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$.

Ответ: $-1$.

5) $3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^{x-1} = 0.2$

Преобразуем уравнение: $0.2 = \frac{1}{5}$.

$3 \cdot 5^{2x} \cdot 5^{-1} - 2 \cdot 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5}$

$3 \cdot (5^x)^2 \cdot \frac{1}{5} - 2 \cdot 5^x \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$

Умножим обе части уравнения на 5:

$3 \cdot (5^x)^2 - 2 \cdot 5^x = 1$

$3 \cdot (5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 1 = 0$

Сделаем замену. Пусть $y = 5^x$, где $y > 0$.

$3y^2 - 2y - 1 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Корень $y_1 = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $y > 0$. Корень $y_2 = 1$ подходит.

Выполним обратную замену: $5^x = 1 \implies 5^x = 5^0 \implies x = 0$.

Ответ: $0$.

6) $\frac{5}{3^x - 6} + \frac{5}{3^x + 6} = 2$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не равны нулю. $3^x - 6 \neq 0 \implies 3^x \neq 6$. $3^x + 6 \neq 0$, что выполняется для любого $x$, так как $3^x > 0$.

Сделаем замену. Пусть $y = 3^x$, где $y > 0$ и $y \neq 6$.

$\frac{5}{y - 6} + \frac{5}{y + 6} = 2$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{5(y+6) + 5(y-6)}{(y-6)(y+6)} = 2$

$\frac{5y + 30 + 5y - 30}{y^2 - 36} = 2$

$\frac{10y}{y^2 - 36} = 2$

Учитывая ОДЗ ($y \neq 6$), можем умножить обе части на знаменатель:

$10y = 2(y^2 - 36)$

Разделим обе части на 2:

$5y = y^2 - 36$

$y^2 - 5y - 36 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 9$ и $y_2 = -4$.

Проверим корни по условиям замены: $y > 0$ и $y \neq 6$.

Корень $y_2 = -4$ не подходит, так как $y$ должен быть положительным. Корень $y_1 = 9$ подходит ($9 > 0$ и $9 \neq 6$).

Выполним обратную замену: $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

Ответ: $2$.