Номер 2.14, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.14, страница 20.

2.14. Решите уравнение:

1) $6^x + 6^{x-1} - 6^{x-2} = 7^x - 8 \cdot 7^{x-2}$;

2) $5^x - 2 \cdot 5^{x-1} = 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2}$;

3) $2^{\sqrt{x}+1} - 3^{\sqrt{x}} = 3^{\sqrt{x}-1} - 2^{\sqrt{x}}$.

1) $6^x + 6^{x-1} - 6^{x-2} = 7^x - 8 \cdot 7^{x-2}$

Для решения данного показательного уравнения преобразуем обе его части, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени для каждого основания. В левой части вынесем $6^{x-2}$, а в правой $7^{x-2}$.

$6^{x-2}(6^2 + 6^1 - 6^0) = 7^{x-2}(7^2 - 8 \cdot 7^0)$

Выполним вычисления в скобках:

$6^{x-2}(36 + 6 - 1) = 7^{x-2}(49 - 8)$

$6^{x-2} \cdot 41 = 7^{x-2} \cdot 41$

Разделим обе части уравнения на 41, так как $41 \neq 0$:

$6^{x-2} = 7^{x-2}$

Так как основания степеней ($6$ и $7$) различны и больше нуля, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю. Чтобы показать это формально, разделим обе части на $7^{x-2}$ (это выражение никогда не равно нулю):

$\frac{6^{x-2}}{7^{x-2}} = 1$

Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получим:

$(\frac{6}{7})^{x-2} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, мы можем записать $1$ как $(\frac{6}{7})^0$:

$(\frac{6}{7})^{x-2} = (\frac{6}{7})^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 2 = 0$

$x = 2$

Ответ: $2$

2) $5^x - 2 \cdot 5^{x-1} = 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения. В левой части вынесем $5^{x-1}$, а в правой $3^{x-2}$.

$5^{x-1}(5^1 - 2) = 3^{x-2}(3^3 - 2)$

Выполним вычисления в скобках:

$5^{x-1}(3) = 3^{x-2}(27 - 2)$

$3 \cdot 5^{x-1} = 25 \cdot 3^{x-2}$

Теперь сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3$ и на $3^{x-2}$:

$\frac{5^{x-1}}{25} = \frac{3^{x-2}}{3}$

Представим числа 25 и 3 как степени с основаниями 5 и 3 соответственно: $25 = 5^2$, $3 = 3^1$.

$\frac{5^{x-1}}{5^2} = \frac{3^{x-2}}{3^1}$

Используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$5^{x-1-2} = 3^{x-2-1}$

$5^{x-3} = 3^{x-3}$

Разделим обе части на $3^{x-3} \neq 0$:

$\frac{5^{x-3}}{3^{x-3}} = 1$

$(\frac{5}{3})^{x-3} = 1$

$(\frac{5}{3})^{x-3} = (\frac{5}{3})^0$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $3$

3) $2^{\sqrt{x}+1} - 3^{\sqrt{x}} = 3^{\sqrt{x}-1} - 2^{\sqrt{x}}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$2^{\sqrt{x}+1} + 2^{\sqrt{x}} = 3^{\sqrt{x}-1} + 3^{\sqrt{x}}$

Вынесем общие множители за скобки. В левой части вынесем $2^{\sqrt{x}}$, а в правой $3^{\sqrt{x}-1}$.

$2^{\sqrt{x}}(2^1 + 1) = 3^{\sqrt{x}-1}(1 + 3^1)$

Выполним вычисления в скобках:

$2^{\sqrt{x}} \cdot 3 = 3^{\sqrt{x}-1} \cdot 4$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части на $3$ и на $2^{\sqrt{x}}$ (или на 4 и $3^{\sqrt{x}-1}$), чтобы собрать степени с основанием 2 слева, а с основанием 3 - справа.

$\frac{2^{\sqrt{x}}}{4} = \frac{3^{\sqrt{x}-1}}{3}$

Представим числа 4 и 3 как степени с основаниями 2 и 3 соответственно: $4 = 2^2$, $3 = 3^1$.

$\frac{2^{\sqrt{x}}}{2^2} = \frac{3^{\sqrt{x}-1}}{3^1}$

Используем свойство частного степеней:

$2^{\sqrt{x}-2} = 3^{(\sqrt{x}-1)-1}$

$2^{\sqrt{x}-2} = 3^{\sqrt{x}-2}$

Разделим обе части на $3^{\sqrt{x}-2} \neq 0$:

$\frac{2^{\sqrt{x}-2}}{3^{\sqrt{x}-2}} = 1$

$(\frac{2}{3})^{\sqrt{x}-2} = 1$

$(\frac{2}{3})^{\sqrt{x}-2} = (\frac{2}{3})^0$

Приравниваем показатели степеней:

$\sqrt{x} - 2 = 0$

$\sqrt{x} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 4$

Найденный корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 0$).

Ответ: $4$