Номер 2.8, страница 19 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.8, страница 19.

2.8. Решите уравнение:

1) $\frac{\sqrt{32}}{16^{x^2}} = 8^{3x}$;

2) $9 \cdot 3^{\sin x} = \sqrt{27}$;

3) $2^{x-1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{2x+1}$;

4) $\sqrt[5]{7^{x+1}} = \frac{49}{\sqrt{7}}$.

1) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{32}}{16^{x^2}} = 8^{3x}$.
Для решения приведем все части уравнения к общему основанию, которым является число 2.
Представим числа 32, 16 и 8 как степени двойки:
$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{\frac{5}{2}}$
$16^{x^2} = (2^4)^{x^2} = 2^{4x^2}$
$8^{3x} = (2^3)^{3x} = 2^{9x}$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\frac{2^{5/2}}{2^{4x^2}} = 2^{9x}$
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим левую часть:
$2^{\frac{5}{2} - 4x^2} = 2^{9x}$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\frac{5}{2} - 4x^2 = 9x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4x^2 + 9x - \frac{5}{2} = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:
$8x^2 + 18x - 5 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484 = 22^2$
Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
$x_2 = \frac{-18 - 22}{2 \cdot 8} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$
Ответ: $x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = -\frac{5}{2}$.

2) Исходное уравнение: $9 \cdot 3^{\sin x} = \sqrt{27}$.
Приведем все части уравнения к основанию 3.
$9 = 3^2$
$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}}$
Подставим в уравнение:
$3^2 \cdot 3^{\sin x} = 3^{\frac{3}{2}}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим левую часть:
$3^{2 + \sin x} = 3^{\frac{3}{2}}$
Приравниваем показатели степеней:
$2 + \sin x = \frac{3}{2}$
Выразим $\sin x$:
$\sin x = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3-4}{2} = -\frac{1}{2}$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $2^{x-1} = 12^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1}$.
Упростим правую часть уравнения. Представим $12$ как $4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$:
$12^{2x} = (2^2 \cdot 3)^{2x} = (2^2)^{2x} \cdot 3^{2x} = 2^{4x} \cdot 3^{2x}$
Подставим это в правую часть уравнения:
$2^{4x} \cdot 3^{2x} \cdot 3^{-2x} \cdot 2^{x+1}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:
$(2^{4x} \cdot 2^{x+1}) \cdot (3^{2x} \cdot 3^{-2x})$
Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{4x+x+1} \cdot 3^{2x-2x} = 2^{5x+1} \cdot 3^0 = 2^{5x+1} \cdot 1 = 2^{5x+1}$
Теперь уравнение имеет вид:
$2^{x-1} = 2^{5x+1}$
Приравниваем показатели степеней:
$x-1 = 5x+1$
Решим линейное уравнение:
$-1-1 = 5x-x$
$-2 = 4x$
$x = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x = -\frac{1}{2}$.

4) Исходное уравнение: $\sqrt[5]{7^{x+1}} = \frac{49}{\sqrt{7}}$.
Приведем все части уравнения к основанию 7.
Преобразуем левую часть, используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$\sqrt[5]{7^{x+1}} = 7^{\frac{x+1}{5}}$
Преобразуем правую часть:
$49 = 7^2$
$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$
$\frac{49}{\sqrt{7}} = \frac{7^2}{7^{1/2}} = 7^{2 - \frac{1}{2}} = 7^{\frac{3}{2}}$
Теперь уравнение выглядит так:
$7^{\frac{x+1}{5}} = 7^{\frac{3}{2}}$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{x+1}{5} = \frac{3}{2}$
Решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части на 10 (общий знаменатель):
$2(x+1) = 3 \cdot 5$
$2x+2 = 15$
$2x = 13$
$x = \frac{13}{2} = 6.5$
Ответ: $x = 6.5$.