Номер 2.1, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 2. Показательные уравнения. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 2.1, страница 18.

2.1. Решите уравнение:

$1) 4^x = 64;$

$2) 3^x = \frac{1}{81};$

$3) 0,6^{2x-3} = 1;$

$4) 10^{-x} = 0,001;$

$5) 2^{5-x} = 2^{3x-7};$

$6) 8^x = 16;$

$7) 0,16^x = \frac{5}{2};$

$8) \sqrt{5^x} = 25;$

$9) 0,25^{x^2-4} = 2^{x^2+1};$

$10) \left(\frac{4}{9}\right)^{x-1} \cdot \left(\frac{27}{8}\right)^{x-1} = \frac{2}{3};$

$11) 2^x \cdot 5^x = 0,1 \cdot (10^x-1)^5;$

$12) \left(\frac{4}{7}\right)^{3x-7} = \left(\frac{7}{4}\right)^{7x-3};$

$13) 36^x = \left(\frac{1}{216}\right)^{2-x};$

$14) 5^{x^2-2x} = 6^{x^2-2x};$

$15) 3^{x-1} = 6^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}.$

1) $4^x = 64$
Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием 4. Так как $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$, уравнение принимает вид:
$4^x = 4^3$
Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

2) $3^x = \frac{1}{81}$
Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что $81 = 3^4$. Тогда $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
Уравнение принимает вид:
$3^x = 3^{-4}$
Приравниваем показатели степеней:
$x = -4$
Ответ: $x = -4$.

3) $0.6^{2x-3} = 1$
Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Представим 1 как $0.6^0$.
$0.6^{2x-3} = 0.6^0$
Приравниваем показатели степеней:
$2x - 3 = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: $x = 1.5$.

4) $10^{-x} = 0.001$
Представим 0.001 в виде степени числа 10.
$0.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}$.
Уравнение принимает вид:
$10^{-x} = 10^{-3}$
Приравниваем показатели степеней:
$-x = -3$
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

5) $2^{5-x} = 2^{3x-7}$
Основания степеней в обеих частях уравнения равны (2), поэтому мы можем приравнять их показатели:
$5 - x = 3x - 7$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа - в другую:
$5 + 7 = 3x + x$
$12 = 4x$
$x = \frac{12}{4}$
$x = 3$
Ответ: $x = 3$.

6) $8^x = 16$
Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к 2.
$8 = 2^3$, поэтому $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.
$16 = 2^4$.
Уравнение принимает вид:
$2^{3x} = 2^4$
Приравниваем показатели степеней:
$3x = 4$
$x = \frac{4}{3}$
Ответ: $x = \frac{4}{3}$.

7) $0.16^x = \frac{5}{2}$
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0.16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$.
Уравнение становится: $(\frac{4}{25})^x = \frac{5}{2}$.
Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $\frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$ и $\frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$.
Подставляем в уравнение:
$((\frac{2}{5})^2)^x = (\frac{2}{5})^{-1}$
$(\frac{2}{5})^{2x} = (\frac{2}{5})^{-1}$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = -1$
$x = -\frac{1}{2}$
Ответ: $x = -0.5$.

8) $\sqrt{5^x} = 25$
Представим обе части уравнения как степени с основанием 5.
Левая часть: $\sqrt{5^x} = (5^x)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{x}{2}}$.
Правая часть: $25 = 5^2$.
Уравнение принимает вид:
$5^{\frac{x}{2}} = 5^2$
Приравниваем показатели:
$\frac{x}{2} = 2$
$x = 4$
Ответ: $x = 4$.

9) $0.25^{x^2-4} = 2^{x^2+1}$
Приведем обе части к основанию 2.
$0.25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Подставляем в левую часть:
$(2^{-2})^{x^2-4} = 2^{-2(x^2-4)} = 2^{-2x^2+8}$.
Уравнение принимает вид:
$2^{-2x^2+8} = 2^{x^2+1}$
Приравниваем показатели:
$-2x^2 + 8 = x^2 + 1$
$8 - 1 = x^2 + 2x^2$
$7 = 3x^2$
$x^2 = \frac{7}{3}$
$x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}$
Ответ: $x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}$.

10) $(\frac{4}{9})^{x-1} \cdot (\frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3}$
Используем свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для левой части:
$(\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3}$
Упростим произведение в скобках:
$\frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{4 \cdot 27}{9 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2}$.
Уравнение принимает вид:
$(\frac{3}{2})^{x-1} = \frac{2}{3}$
Приведем правую часть к основанию $\frac{3}{2}$: $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$.
$(\frac{3}{2})^{x-1} = (\frac{3}{2})^{-1}$
Приравниваем показатели:
$x - 1 = -1$
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

11) $2^x \cdot 5^x = 0.1 \cdot (10^{x-1})^5$
Упростим обе части уравнения.
Левая часть: $2^x \cdot 5^x = (2 \cdot 5)^x = 10^x$.
Правая часть: $0.1 = 10^{-1}$ и $(10^{x-1})^5 = 10^{5(x-1)} = 10^{5x-5}$.
Правая часть становится: $10^{-1} \cdot 10^{5x-5} = 10^{-1 + 5x - 5} = 10^{5x-6}$.
Уравнение принимает вид:
$10^x = 10^{5x-6}$
Приравниваем показатели:
$x = 5x - 6$
$6 = 4x$
$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: $x = 1.5$.

12) $(\frac{4}{7})^{3x-7} = (\frac{7}{4})^{7x-3}$
Приведем правую часть к основанию $\frac{4}{7}$. Так как $\frac{7}{4} = (\frac{4}{7})^{-1}$, то
$(\frac{7}{4})^{7x-3} = ((\frac{4}{7})^{-1})^{7x-3} = (\frac{4}{7})^{-(7x-3)} = (\frac{4}{7})^{-7x+3}$.
Уравнение принимает вид:
$(\frac{4}{7})^{3x-7} = (\frac{4}{7})^{-7x+3}$
Приравниваем показатели:
$3x - 7 = -7x + 3$
$3x + 7x = 3 + 7$
$10x = 10$
$x = 1$
Ответ: $x = 1$.

13) $36^x = (\frac{1}{216})^{2-x}$
Приведем обе части к основанию 6.
$36 = 6^2$, поэтому $36^x = (6^2)^x = 6^{2x}$.
$216 = 6^3$, поэтому $\frac{1}{216} = \frac{1}{6^3} = 6^{-3}$.
Правая часть: $(6^{-3})^{2-x} = 6^{-3(2-x)} = 6^{-6+3x}$.
Уравнение принимает вид:
$6^{2x} = 6^{3x-6}$
Приравниваем показатели:
$2x = 3x - 6$
$6 = 3x - 2x$
$x = 6$
Ответ: $x = 6$.

14) $5^{x^2-2x} = 6^{x^2-2x}$
Уравнение вида $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, где $a, b > 0$ и $a \neq b$, имеет решение только в том случае, если показатель степени равен нулю, так как $a^0 = 1$ и $b^0 = 1$.
Следовательно, приравниваем показатель степени к нулю:
$x^2 - 2x = 0$
Выносим $x$ за скобки:
$x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

15) $3^{x-1} = 6^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}$
Упростим правую часть уравнения.
Представим $6^x$ как $(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$.
Правая часть: $(2^x \cdot 3^x) \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$(2^x \cdot 2^{-x}) \cdot (3^x \cdot 3^{x+1})$
Применяем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{x-x} \cdot 3^{x+(x+1)} = 2^0 \cdot 3^{2x+1} = 1 \cdot 3^{2x+1} = 3^{2x+1}$.
Уравнение принимает вид:
$3^{x-1} = 3^{2x+1}$
Приравниваем показатели степеней:
$x - 1 = 2x + 1$
$-1 - 1 = 2x - x$
$x = -2$
Ответ: $x = -2$.