Номер 1.38, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.38, страница 15.

1.38. Упростите выражение:

1) $7^{x+1} + 7^x$;

2) $10^{x-2} - 10^x$;

3) $2^{x+1} + 2^{x-4}$;

4) $3^{x+1} + 3^x + 3^{x-1}$;

5) $2^{x+3} + 3 \cdot 2^{x+2} - 5 \cdot 2^{x+1}$;

6) $\left(\frac{1}{6}\right)^{1-x} + 36^{\frac{x}{2}} - 6^x$;

7) $9^{x+1} + 3^{2x+1}$;

8) $\sqrt{25^{x-2}} - 2 \cdot 5^x + (\sqrt{5})^{2x+4}$.

1) $7^{x+1} + 7^x$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы представить $7^{x+1}$ как $7^x \cdot 7^1$.

$7^{x+1} + 7^x = 7^x \cdot 7 + 7^x$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x(7 + 1) = 7^x \cdot 8 = 8 \cdot 7^x$

Ответ: $8 \cdot 7^x$

2) $10^{x-2} - 10^x$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, чтобы представить $10^{x-2}$ как $10^x \cdot 10^{-2}$.

$10^{x-2} - 10^x = 10^x \cdot 10^{-2} - 10^x = 10^x \cdot \frac{1}{100} - 10^x$

Вынесем общий множитель $10^x$ за скобки:

$10^x \left(\frac{1}{100} - 1\right) = 10^x \left(\frac{1 - 100}{100}\right) = 10^x \left(-\frac{99}{100}\right) = -0.99 \cdot 10^x$

Ответ: $-0.99 \cdot 10^x$

3) $2^{x+1} + 2^{x-4}$

Используя свойства степеней, представим каждое слагаемое с множителем $2^x$:

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

$2^{x-4} = 2^x \cdot 2^{-4} = 2^x \cdot \frac{1}{16} = \frac{2^x}{16}$

Подставим в исходное выражение и вынесем $2^x$ за скобки:

$2 \cdot 2^x + \frac{2^x}{16} = 2^x \left(2 + \frac{1}{16}\right) = 2^x \left(\frac{32}{16} + \frac{1}{16}\right) = 2^x \cdot \frac{33}{16}$

Ответ: $\frac{33}{16} \cdot 2^x$

4) $3^{x+1} + 3^x + 3^{x-1}$

Представим каждое слагаемое с множителем $3^x$:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{3^x}{3}$

Подставим в выражение и вынесем $3^x$ за скобки:

$3 \cdot 3^x + 3^x + \frac{3^x}{3} = 3^x \left(3 + 1 + \frac{1}{3}\right) = 3^x \left(4 + \frac{1}{3}\right) = 3^x \left(\frac{12}{3} + \frac{1}{3}\right) = 3^x \cdot \frac{13}{3}$

Ответ: $\frac{13}{3} \cdot 3^x$

5) $2^{x+3} + 3 \cdot 2^{x+2} - 5 \cdot 2^{x+1}$

Представим все слагаемые через наименьшую степень, то есть $2^{x+1}$:

$2^{x+3} = 2^{(x+1)+2} = 2^{x+1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{x+1}$

$3 \cdot 2^{x+2} = 3 \cdot 2^{(x+1)+1} = 3 \cdot 2^{x+1} \cdot 2^1 = 6 \cdot 2^{x+1}$

Подставим в выражение и вынесем $2^{x+1}$ за скобки:

$4 \cdot 2^{x+1} + 6 \cdot 2^{x+1} - 5 \cdot 2^{x+1} = 2^{x+1}(4 + 6 - 5) = 2^{x+1} \cdot 5 = 5 \cdot 2^{x+1}$

Ответ: $5 \cdot 2^{x+1}$

6) $\left(\frac{1}{6}\right)^{1-x} + 36^{\frac{x}{2}} - 6^{x+1}$

Приведем все слагаемые к основанию 6:

$\left(\frac{1}{6}\right)^{1-x} = (6^{-1})^{1-x} = 6^{-1(1-x)} = 6^{x-1}$

$36^{\frac{x}{2}} = (6^2)^{\frac{x}{2}} = 6^{2 \cdot \frac{x}{2}} = 6^x$

Выражение принимает вид: $6^{x-1} + 6^x - 6^{x+1}$

Вынесем $6^x$ за скобки:

$6^x \cdot 6^{-1} + 6^x - 6^x \cdot 6^1 = 6^x \left(\frac{1}{6} + 1 - 6\right) = 6^x \left(\frac{1}{6} - 5\right) = 6^x \left(\frac{1 - 30}{6}\right) = -\frac{29}{6} \cdot 6^x$

Ответ: $-\frac{29}{6} \cdot 6^x$

7) $9^{x+1} + 3^{2x+1}$

Приведем все слагаемые к основанию 3:

$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2}$

Выражение принимает вид: $3^{2x+2} + 3^{2x+1}$

Вынесем за скобки множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{2x+1}$:

$3^{(2x+1)+1} + 3^{2x+1} = 3^{2x+1} \cdot 3^1 + 3^{2x+1} = 3^{2x+1}(3+1) = 4 \cdot 3^{2x+1}$

Ответ: $4 \cdot 3^{2x+1}$

8) $\sqrt{25^{x-2}} - 2 \cdot 5^x + (\sqrt{5})^{2x+4}$

Приведем все слагаемые к основанию 5:

$\sqrt{25^{x-2}} = (25^{x-2})^{\frac{1}{2}} = ((5^2)^{x-2})^{\frac{1}{2}} = (5^{2x-4})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{2x-4}{2}} = 5^{x-2}$

$(\sqrt{5})^{2x+4} = (5^{\frac{1}{2}})^{2x+4} = 5^{\frac{1}{2}(2x+4)} = 5^{x+2}$

Выражение принимает вид: $5^{x-2} - 2 \cdot 5^x + 5^{x+2}$

Вынесем $5^x$ за скобки:

$5^x \cdot 5^{-2} - 2 \cdot 5^x + 5^x \cdot 5^2 = 5^x(\frac{1}{25} - 2 + 25) = 5^x(\frac{1}{25} + 23) = 5^x\left(\frac{1 + 23 \cdot 25}{25}\right) = 5^x\left(\frac{1+575}{25}\right) = \frac{576}{25} \cdot 5^x$

Ответ: $\frac{576}{25} \cdot 5^x$