Номер 1.31, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.31, страница 14.

1.31. Постройте график функции:

1) $y = 2^{|x|};$

2) $y = 2^{|x|} + 1;$

3) $y = |2x - 1|;$

4) $y = |\frac{1}{2^x} - 1|.$

1) Для построения графика функции $y=2^{|x|}$ воспользуемся свойством модуля и четностью функции.
Функция является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
Построение можно выполнить в два шага:
1. Строим график функции $y=2^x$ для неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$). Это стандартная возрастающая показательная кривая, проходящая через точки (0, 1), (1, 2), (2, 4).
2. Так как функция четная, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. Таким образом, мы получаем вторую ветвь графика для отрицательных значений $x$ ($x < 0$), которая проходит через точки (-1, 2), (-2, 4) и так далее. Она является графиком функции $y=2^{-x}$ при $x<0$.
В результате получаем график, состоящий из двух ветвей, выходящих из общей точки (0, 1), которая является точкой минимума функции.
Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. При $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=2^x$, а при $x < 0$ — с графиком $y=2^{-x}$. Точка (0, 1) является точкой минимума.

2) График функции $y=2^{|x|} + 1$ получается из графика функции $y=2^{|x|}$, построенного в предыдущем пункте, с помощью геометрического преобразования.
Прибавление константы к значению функции соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика вдоль оси ординат (OY). В данном случае, мы должны сдвинуть график функции $y=2^{|x|}$ на 1 единицу вверх.
Каждая точка $(x, y)$ на графике $y=2^{|x|}$ переходит в точку $(x, y+1)$ на новом графике.

• Точка минимума (0, 1) перемещается в точку (0, 2).
• Точки (1, 2) и (-1, 2) перемещаются в точки (1, 3) и (-1, 3).
• Точки (2, 4) и (-2, 4) перемещаются в точки (2, 5) и (-2, 5).

Форма графика сохраняется, он по-прежнему симметричен относительно оси OY.
Ответ: График функции $y = 2^{|x|} + 1$ — это график функции $y = 2^{|x|}$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Точка минимума находится в (0, 2).

3) Для построения графика функции $y=|2^x - 1|$ выполним следующие шаги:
1. Сначала построим график вспомогательной функции $y_1 = 2^x - 1$. Этот график получается сдвигом графика показательной функции $y=2^x$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Он проходит через начало координат (0, 0), так как $2^0 - 1 = 0$. Горизонтальная асимптота графика — прямая $y=-1$.
2. Теперь применим операцию взятия модуля: $y = |y_1| = |2^x - 1|$. Это преобразование оставляет без изменений ту часть графика, где $y_1 \ge 0$, и симметрично отражает относительно оси абсцисс (OX) ту часть, где $y_1 < 0$.

• $y_1 = 2^x - 1 \ge 0$ при $2^x \ge 1$, то есть при $x \ge 0$. Эту часть графика оставляем как есть.
• $y_1 = 2^x - 1 < 0$ при $2^x < 1$, то есть при $x < 0$. Эту часть графика (которая лежит ниже оси OX) отражаем симметрично вверх.

В результате, часть графика $y=2^x-1$ для $x<0$ отражается относительно оси OX. Горизонтальная асимптота $y=-1$ также отражается и становится асимптотой $y=1$ (при $x \to -\infty$).
Ответ: График получается из графика $y=2^x-1$ отражением его отрицательной части ($x<0$) относительно оси OX. График проходит через точку (0, 0) и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to -\infty$.

4) Для построения графика функции $y=|\frac{1}{2^x} - 1|$ сначала упростим выражение: $y = |2^{-x} - 1|$. Построение аналогично предыдущему пункту.
1. Сначала строим график вспомогательной функции $y_1 = 2^{-x} - 1$. График функции $y=2^{-x}$ является зеркальным отражением графика $y=2^x$ относительно оси OY (это убывающая показательная функция). График $y_1 = 2^{-x} - 1$ получается сдвигом $y=2^{-x}$ на 1 единицу вниз. Он также проходит через начало координат (0, 0) и имеет горизонтальную асимптоту $y=-1$ (при $x \to +\infty$).
2. Применяем операцию взятия модуля: $y = |y_1| = |2^{-x} - 1|$.

• $y_1 = 2^{-x} - 1 \ge 0$ при $2^{-x} \ge 1$, то есть при $x \le 0$. Эту часть графика оставляем без изменений.
• $y_1 = 2^{-x} - 1 < 0$ при $2^{-x} < 1$, то есть при $x > 0$. Эту часть графика, лежащую под осью OX, отражаем симметрично относительно оси OX.

Горизонтальная асимптота $y=-1$ (при $x \to +\infty$) отражается в асимптоту $y=1$.
Стоит отметить, что функция $y=|2^{-x} - 1|$ является зеркальным отражением функции $y=|2^x - 1|$ из пункта 3) относительно оси OY.
Ответ: График получается из графика $y=2^{-x}-1$ отражением его отрицательной части ($x>0$) относительно оси OX. График проходит через точку (0, 0) и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to +\infty$.