Номер 1.28, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.28, страница 14.

1.28. Сравните $(7+4\sqrt{3})^{-5,2}$ и $(7-4\sqrt{3})^{5,6}$.

Чтобы сравнить числа $(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{5,6}$, приведем их к общему основанию.

Заметим, что выражения в скобках, $(7 + 4\sqrt{3})$ и $(7 - 4\sqrt{3})$, являются сопряженными. Найдем их произведение по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(7 + 4\sqrt{3}) \cdot (7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Из равенства их произведения единице следует, что эти числа являются взаимно обратными. Это позволяет выразить одно основание через другое:

$7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = (7 + 4\sqrt{3})^{-1}$.

Подставим это выражение во второе число, чтобы привести его к основанию $(7 + 4\sqrt{3})$:

$(7 - 4\sqrt{3})^{5,6} = \left((7 + 4\sqrt{3})^{-1}\right)^{5,6}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$\left((7 + 4\sqrt{3})^{-1}\right)^{5,6} = (7 + 4\sqrt{3})^{-1 \cdot 5,6} = (7 + 4\sqrt{3})^{-5,6}$.

Теперь задача сводится к сравнению двух степеней с одинаковым основанием: $(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2}$ и $(7 + 4\sqrt{3})^{-5,6}$.

Оценим величину основания $a = 7 + 4\sqrt{3}$. Поскольку $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$, а $6 = \sqrt{36}$ и $7 = \sqrt{49}$, то $6 < 4\sqrt{3} < 7$. Следовательно, основание $a = 7 + 4\sqrt{3}$ больше $7+6=13$. Таким образом, $a > 1$.

Для показательной функции $y = a^x$ с основанием $a > 1$ справедливо, что функция является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя соответствует большее значение степени.

Сравним показатели степеней: $-5,2$ и $-5,6$.

Так как $-5,2 > -5,6$, то и соответствующая степень с основанием, большим единицы, будет больше:

$(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 + 4\sqrt{3})^{-5,6}$.

Заменив второе выражение на его исходную форму, получаем итоговый результат:

$(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 - 4\sqrt{3})^{5,6}$.

Ответ: $(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 - 4\sqrt{3})^{5,6}$.