Номер 1.30, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.30, страница 14.

Учебник.

1.30. Определите графически количество корней уравнения:

1) $(\frac{1}{3})^x = x^3;$

2) $(\frac{1}{3})^x = \cos x;$

3) $(\frac{1}{3})^x = 4 - \frac{3}{x}.

Решение.

Решение 2.

1)

Для определения количества корней уравнения $(\frac{1}{3})^x = x^3$ построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = x^3$.

Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$. График этой функции — монотонно убывающая кривая. Функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Все значения функции положительны, то есть $y > 0$. График проходит через точку $(0, 1)$, так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

Функция $y = x^3$ — это кубическая парабола. График этой функции — монотонно возрастающая кривая. Функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. График проходит через начало координат $(0, 0)$. Функция принимает отрицательные значения при $x < 0$ и положительные при $x > 0$.

Пересечение графиков возможно только при $x > 0$, так как при $x \le 0$ значения функции $y = (\frac{1}{3})^x$ положительны (при $x=0, y=1$), а значения функции $y = x^3$ неположительны (при $x \le 0, y \le 0$).

Рассмотрим поведение функций при $x > 0$. Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ монотонно убывает, а функция $y = x^3$ монотонно возрастает. Следовательно, их графики могут пересечься не более одного раза.

Чтобы убедиться, что пересечение существует, сравним значения функций в некоторых точках. Например, при $x = 0.5$ имеем $y = (\frac{1}{3})^{0.5} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ и $y = (0.5)^3 = 0.125$. Здесь $(\frac{1}{3})^x > x^3$. При $x = 1$ имеем $y = \frac{1}{3}$ и $y = 1^3 = 1$. Здесь $(\frac{1}{3})^x < x^3$. Так как обе функции непрерывны, а соотношение между их значениями изменилось на интервале $(0.5; 1)$, то на этом интервале существует точка пересечения их графиков.

Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 корень.

2)

Для определения количества корней уравнения $(\frac{1}{3})^x = \cos x$ построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = \cos x$.

График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — монотонно убывающая показательная кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и расположенная в верхней полуплоскости ($y > 0$).

График функции $y = \cos x$ — косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$. Значения функции лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Рассмотрим пересечения графиков. Поскольку $(\frac{1}{3})^x > 0$ для всех $x$, пересечения возможны только там, где $\cos x > 0$.

При $x < 0$ функция $y = (\frac{1}{3})^x$ возрастает при движении влево по оси $x$ и принимает значения больше 1. Например, $y(-1) = 3, y(-2) = 9$. В то же время, $y = \cos x$ не превышает 1. Следовательно, при $x < 0$ пересечений нет.

При $x = 0$ имеем $(\frac{1}{3})^0 = 1$ и $\cos 0 = 1$. Значит, $x = 0$ является корнем уравнения, и точка $(0, 1)$ — точка пересечения графиков.

При $x > 0$ функция $y = (\frac{1}{3})^x$ убывает, стремясь к нулю. Функция $y = \cos x$ колеблется между $-1$ и $1$. В каждом интервале вида $(2\pi k - \frac{\pi}{2}, 2\pi k + \frac{\pi}{2})$ при $k=1, 2, 3, \ldots$, функция $\cos x$ сначала возрастает от 0 до 1 (в точке $x=2\pi k$), а затем убывает от 1 до 0. В то же время, на этих интервалах функция $(\frac{1}{3})^x$ является очень маленькой положительной величиной. Поскольку на каждом таком интервале косинусоида "поднимается" от 0 до 1 (значение, которое заведомо больше, чем $(\frac{1}{3})^x$ для больших $x$) и "опускается" обратно до 0, она пересекает график убывающей функции $(\frac{1}{3})^x$ дважды. Так как таких интервалов бесконечно много, то и число точек пересечения (корней) бесконечно.

Ответ: бесконечное множество корней.

3)

Для определения количества корней уравнения $(\frac{1}{3})^x = 4 - \frac{3}{x}$ построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = 4 - \frac{3}{x}$.

График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — монотонно убывающая показательная кривая, проходящая через точку $(0, 1)$.

График функции $y = 4 - \frac{3}{x}$ — это гипербола $y = -\frac{3}{x}$, смещенная на 4 единицы вверх. Она имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ и горизонтальную асимптоту $y = 4$. Функция монотонно возрастает на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Рассмотрим задачу на двух интервалах: $x > 0$ и $x < 0$.

При $x > 0$:
Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ монотонно убывает от 1 (при $x \to 0^+$) до 0 (при $x \to +\infty$).
Функция $y = 4 - \frac{3}{x}$ монотонно возрастает от $-\infty$ (при $x \to 0^+$) до 4 (при $x \to +\infty$).
Так как одна функция убывает, а другая возрастает, они могут пересечься не более одного раза. Проверим, есть ли пересечение. При $x=1$, $y=(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$ и $y=4-3=1$. Здесь $(\frac{1}{3})^x < 4 - \frac{3}{x}$. При $x=\frac{3}{4}$, $y=(\frac{1}{3})^{3/4} > 0$ и $y=4-\frac{3}{3/4}=0$. Здесь $(\frac{1}{3})^x > 4 - \frac{3}{x}$. Так как функции непрерывны на $(\frac{3}{4}, 1)$ и их соотношение меняется, они пересекаются ровно один раз на интервале $x > 0$.

При $x < 0$:
Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ монотонно убывает от $+\infty$ (при $x \to -\infty$) до 1 (при $x \to 0^-$).
Функция $y = 4 - \frac{3}{x}$ монотонно возрастает от 4 (при $x \to -\infty$) до $+\infty$ (при $x \to 0^-$).
Снова имеем пересечение монотонно убывающей и монотонно возрастающей функций, что означает не более одной точки пересечения.
Сравним значения. При $x \to -\infty$ график $y = (\frac{1}{3})^x$ уходит в $+\infty$, а график $y = 4 - \frac{3}{x}$ стремится к 4, то есть $(\frac{1}{3})^x > 4 - \frac{3}{x}$. При $x \to 0^-$ график $y = (\frac{1}{3})^x$ стремится к 1, а график $y = 4 - \frac{3}{x}$ уходит в $+\infty$, то есть $(\frac{1}{3})^x < 4 - \frac{3}{x}$. Так как функции непрерывны и их соотношение меняется, они пересекаются ровно один раз на интервале $x < 0$.

Следовательно, уравнение имеет один корень при $x > 0$ и один корень при $x < 0$, что в сумме дает два корня.

Ответ: 2 корня.