Страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.27. На рисунке 1.10 укажите график функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x - 1$.

Рис. 1.10

а

б

в

г

Для того чтобы найти график функции $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x - 1$, мы можем проанализировать её, отталкиваясь от базовой показательной функции $y_1 = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ и применяя к ней преобразование.

Сначала рассмотрим свойства базовой функции $y_1 = \left(\frac{1}{4}\right)^x$. Так как основание степени $a = \frac{1}{4}$ находится в интервале $(0, 1)$, эта функция является убывающей на всей области определения. Её график проходит через точку с координатами $(0, 1)$, поскольку любое число в нулевой степени равно единице. Горизонтальной асимптотой графика является ось Ox, то есть прямая $y=0$. На рисунках этим свойствам соответствует график г.

Исходная функция $y = \left(\frac{1}{4}\right)^x - 1$ получается из графика функции $y_1 = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ путем вертикального сдвига на 1 единицу вниз. Этот сдвиг влияет на положение графика, но не на его форму и монотонность.

Проанализируем свойства итоговой функции. Во-первых, функция остается убывающей, что сразу исключает график б, который демонстрирует возрастающую функцию. Во-вторых, точка пересечения с осью ординат смещается из $(0, 1)$ на 1 единицу вниз и становится точкой $(0, 0)$, то есть график должен проходить через начало координат. В-третьих, горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 1 единицу вниз и становится прямой $y=-1$.

Сопоставим эти выводы с предложенными вариантами. График а пересекает ось y ниже нуля. График г пересекает ось y в точке $(0, 1)$. Только график в является убывающим, проходит через начало координат $(0, 0)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=-1$.

Таким образом, правильным является график, представленный на рисунке в.

Ответ: в

1.28. Сравните $(7+4\sqrt{3})^{-5,2}$ и $(7-4\sqrt{3})^{5,6}$.

Чтобы сравнить числа $(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{5,6}$, приведем их к общему основанию.

Заметим, что выражения в скобках, $(7 + 4\sqrt{3})$ и $(7 - 4\sqrt{3})$, являются сопряженными. Найдем их произведение по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(7 + 4\sqrt{3}) \cdot (7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.

Из равенства их произведения единице следует, что эти числа являются взаимно обратными. Это позволяет выразить одно основание через другое:

$7 - 4\sqrt{3} = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = (7 + 4\sqrt{3})^{-1}$.

Подставим это выражение во второе число, чтобы привести его к основанию $(7 + 4\sqrt{3})$:

$(7 - 4\sqrt{3})^{5,6} = \left((7 + 4\sqrt{3})^{-1}\right)^{5,6}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$\left((7 + 4\sqrt{3})^{-1}\right)^{5,6} = (7 + 4\sqrt{3})^{-1 \cdot 5,6} = (7 + 4\sqrt{3})^{-5,6}$.

Теперь задача сводится к сравнению двух степеней с одинаковым основанием: $(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2}$ и $(7 + 4\sqrt{3})^{-5,6}$.

Оценим величину основания $a = 7 + 4\sqrt{3}$. Поскольку $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$, а $6 = \sqrt{36}$ и $7 = \sqrt{49}$, то $6 < 4\sqrt{3} < 7$. Следовательно, основание $a = 7 + 4\sqrt{3}$ больше $7+6=13$. Таким образом, $a > 1$.

Для показательной функции $y = a^x$ с основанием $a > 1$ справедливо, что функция является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя соответствует большее значение степени.

Сравним показатели степеней: $-5,2$ и $-5,6$.

Так как $-5,2 > -5,6$, то и соответствующая степень с основанием, большим единицы, будет больше:

$(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 + 4\sqrt{3})^{-5,6}$.

Заменив второе выражение на его исходную форму, получаем итоговый результат:

$(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 - 4\sqrt{3})^{5,6}$.

Ответ: $(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 - 4\sqrt{3})^{5,6}$.

1.29. Определите графически количество корней уравнения:

1) $2^x = x;$

2) $2^x = x^2;$

3) $2^x = \sin x;$

4) $2^{-x} = 2 - x^2.$

1) $2^x = x$

Для определения количества корней уравнения $2^x = x$ построим графики функций $y = 2^x$ и $y = x$ в одной системе координат.

График функции $y = 2^x$ — это показательная функция (экспонента). Она проходит через точку $(0, 1)$, полностью лежит в верхней полуплоскости ($2^x > 0$ для любых $x$) и является монотонно возрастающей. При $x \to -\infty$, $y \to 0$.

График функции $y = x$ — это прямая, биссектриса первого и третьего координатных углов, проходящая через начало координат.

Сравним поведение функций. При $x \le 0$ значения функции $y=x$ неположительны ($x \le 0$), в то время как значения функции $y=2^x$ всегда строго положительны ($2^x > 0$). Следовательно, на промежутке $(-\infty, 0]$ пересечений нет.

Рассмотрим $x > 0$. В точке $x=0$ имеем $2^0=1$, а $y=x$ равно 0. То есть экспонента выше прямой. Можно показать, что функция $y=2^x$ всегда лежит выше прямой $y=x$. Для этого рассмотрим функцию $f(x) = 2^x - x$. Её производная $f'(x) = 2^x \ln 2 - 1$ равна нулю в точке, где касательная к графику $y=2^x$ параллельна прямой $y=x$. Эта точка $x_{min} = \log_2(1/\ln 2)$ является точкой минимума функции $f(x)$. Минимальное значение $f(x_{min}) = \frac{1}{\ln 2} - \log_2(\frac{1}{\ln 2}) > 0$. Так как минимальное значение разности функций положительно, то $2^x > x$ для всех $x$.

Таким образом, графики функций $y = 2^x$ и $y = x$ не пересекаются.

Ответ: 0 корней.

2) $2^x = x^2$

Рассмотрим графики функций $y = 2^x$ и $y = x^2$.

График $y = 2^x$ — возрастающая экспонента, проходящая через $(0, 1)$.

График $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Сравним функции на разных промежутках:

1. При $x > 0$:
- Подбором легко найти два решения: $x=2$ (так как $2^2=4$ и $2^2=4$) и $x=4$ (так как $2^4=16$ и $4^2=16$).
- При $x \in (2, 4)$ парабола $y=x^2$ находится выше экспоненты $y=2^x$ (например, при $x=3$, $2^3=8 < 3^2=9$). При $x>4$ экспоненциальная функция растет быстрее квадратичной, поэтому других пересечений при $x>4$ нет. При $x \in (0, 2)$ экспонента выше параболы. Таким образом, для $x>0$ есть две точки пересечения.

2. При $x \le 0$:
- В точке $x=0$ имеем $2^0=1$ и $0^2=0$, пересечения нет.
- При $x<0$ рассмотрим уравнение. Пусть $x=-t$, где $t>0$. Уравнение принимает вид $2^{-t} = (-t)^2$, или $(1/2)^t = t^2$. Функция $y=(1/2)^t$ — монотонно убывающая (от 1 до 0), а функция $y=t^2$ — монотонно возрастающая (от 0 до $\infty$). На промежутке $t>0$ графики таких функций могут пересечься только один раз. Поскольку при $t \to 0^+$ имеем $(1/2)^t \to 1 > t^2 \to 0$, а при $t=1$ имеем $(1/2)^1=0.5 < 1^2=1$, то по теореме о промежуточном значении пересечение существует. Значит, для $x<0$ существует ровно один корень.

Суммируя, получаем одну точку пересечения при $x<0$ и две точки при $x>0$. Всего три точки пересечения.

Ответ: 3 корня.

3) $2^x = \sin x$

Рассмотрим графики функций $y = 2^x$ и $y = \sin x$.

График $y = 2^x$ — возрастающая экспонента, $y>0$ для всех $x$.

График $y = \sin x$ — синусоида, периодическая функция с областью значений $[-1, 1]$.

1. При $x \ge 0$:
- В точке $x=0$ имеем $2^0=1$, а $\sin 0 = 0$.
- При $x > 0$, $2^x > 1$. В то же время, $\sin x \le 1$. Таким образом, равенство $2^x = \sin x$ невозможно. Пересечений нет.

2. При $x < 0$:
- На этом промежутке $0 < 2^x < 1$.
- Пересечения возможны только там, где $\sin x > 0$. Это происходит на интервалах вида $(-(2k)\pi, -(2k-1)\pi)$ для целых $k \ge 1$.
- Рассмотрим первый такой интервал $(-2\pi, -\pi)$. На нем функция $y=\sin x$ образует "арку", начинаясь с 0, достигая 1 в точке $x=-3\pi/2$ и снова опускаясь до 0. Функция $y=2^x$ на этом интервале монотонно убывает от $2^{-\pi}$ до $2^{-2\pi}$. Так как $0 < 2^{-2\pi} < 2^{-\pi} < 1$, а максимальное значение $\sin x$ равно 1, график синуса обязательно пересечет график экспоненты. Поскольку $\sin x$ сначала возрастает от 0 до 1, а затем убывает от 1 до 0, а $2^x$ монотонно убывает, будет ровно две точки пересечения на этом интервале.
- Аналогичная ситуация повторяется на каждом интервале $(-(2k)\pi, -(2k-1)\pi)$ для $k=2, 3, 4, \dots$. На каждом из этих бесконечно многих интервалов функция $\sin x$ имеет положительную "арку", которая пересекает почти горизонтальную линию графика $y=2^x$ (значения $2^x$ очень малы для больших по модулю отрицательных $x$) в двух точках.

Следовательно, уравнение имеет бесконечное множество корней.

Ответ: бесконечно много корней.

4) $2^{-x} = 2 - x^2$

Рассмотрим графики функций $y = 2^{-x}$ и $y = 2 - x^2$.

График $y = 2^{-x}$ (или $y=(1/2)^x$) — это монотонно убывающая экспонента, проходящая через точку $(0, 1)$.

График $y = 2 - x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями вниз. Она пересекает ось Ox в точках $x = \pm\sqrt{2}$.

Сравним поведение функций:

1. В точке $x=0$: $y=2^{-0}=1$, $y=2-0^2=2$. Парабола выше экспоненты.

2. При $x > 0$:
- В точке $x=1$: $y=2^{-1}=0.5$, $y=2-1^2=1$. Парабола все еще выше.
- В точке $x=\sqrt{2} \approx 1.41$: $y=2-\left(\sqrt{2}\right)^2=0$, а $y=2^{-\sqrt{2}}>0$. Теперь экспонента выше.
- Поскольку в точке $x=1$ парабола была выше, а в точке $x=\sqrt{2}$ ниже, и обе функции непрерывны, между $x=1$ и $x=\sqrt{2}$ должна быть точка пересечения. Так как при $x>\sqrt{2}$ парабола отрицательна, а экспонента всегда положительна, то других пересечений при $x>0$ нет. Итак, один корень при $x>0$.

3. При $x < 0$:
- В точке $x=-1$: $y=2^{-(-1)}=2^1=2$, $y=2-(-1)^2=1$. Теперь экспонента выше параболы.
- Мы видели, что в $x=0$ парабола была выше ($y=2$), а в $x=-1$ уже экспонента выше ($y=2$). Следовательно, между $x=-1$ и $x=0$ есть точка пересечения.
- Исследуем поведение при $x \to -\infty$. Функция $y=2^{-x}$ стремится к $+\infty$, а $y=2-x^2$ стремится к $-\infty$. Поскольку при $x=-1$ экспонента выше, и она продолжает расти, а парабола — убывать, они больше не пересекутся. На промежутке $x<0$ функция $y=2^{-x}$ возрастает, а $y=2-x^2$ сначала возрастает (до $x=0$), а затем убывает. Графически видно, что после пересечения в интервале $(-1, 0)$ экспонента всегда будет находиться выше параболы.

Таким образом, есть одна точка пересечения при $x<0$ и одна точка пересечения при $x>0$. Всего две точки пересечения.

Ответ: 2 корня.

1.30. Определите графически количество корней уравнения:

1) $(\frac{1}{3})^x = x^3;$

2) $(\frac{1}{3})^x = \cos x;$

3) $(\frac{1}{3})^x = 4 - \frac{3}{x}.

1)

Для определения количества корней уравнения $(\frac{1}{3})^x = x^3$ построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = x^3$.

Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ — это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$. График этой функции — монотонно убывающая кривая. Функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Все значения функции положительны, то есть $y > 0$. График проходит через точку $(0, 1)$, так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

Функция $y = x^3$ — это кубическая парабола. График этой функции — монотонно возрастающая кривая. Функция определена для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. График проходит через начало координат $(0, 0)$. Функция принимает отрицательные значения при $x < 0$ и положительные при $x > 0$.

Пересечение графиков возможно только при $x > 0$, так как при $x \le 0$ значения функции $y = (\frac{1}{3})^x$ положительны (при $x=0, y=1$), а значения функции $y = x^3$ неположительны (при $x \le 0, y \le 0$).

Рассмотрим поведение функций при $x > 0$. Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ монотонно убывает, а функция $y = x^3$ монотонно возрастает. Следовательно, их графики могут пересечься не более одного раза.

Чтобы убедиться, что пересечение существует, сравним значения функций в некоторых точках. Например, при $x = 0.5$ имеем $y = (\frac{1}{3})^{0.5} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577$ и $y = (0.5)^3 = 0.125$. Здесь $(\frac{1}{3})^x > x^3$. При $x = 1$ имеем $y = \frac{1}{3}$ и $y = 1^3 = 1$. Здесь $(\frac{1}{3})^x < x^3$. Так как обе функции непрерывны, а соотношение между их значениями изменилось на интервале $(0.5; 1)$, то на этом интервале существует точка пересечения их графиков.

Таким образом, графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 корень.

2)

Для определения количества корней уравнения $(\frac{1}{3})^x = \cos x$ построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = \cos x$.

График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — монотонно убывающая показательная кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и расположенная в верхней полуплоскости ($y > 0$).

График функции $y = \cos x$ — косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$. Значения функции лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Рассмотрим пересечения графиков. Поскольку $(\frac{1}{3})^x > 0$ для всех $x$, пересечения возможны только там, где $\cos x > 0$.

При $x < 0$ функция $y = (\frac{1}{3})^x$ возрастает при движении влево по оси $x$ и принимает значения больше 1. Например, $y(-1) = 3, y(-2) = 9$. В то же время, $y = \cos x$ не превышает 1. Следовательно, при $x < 0$ пересечений нет.

При $x = 0$ имеем $(\frac{1}{3})^0 = 1$ и $\cos 0 = 1$. Значит, $x = 0$ является корнем уравнения, и точка $(0, 1)$ — точка пересечения графиков.

При $x > 0$ функция $y = (\frac{1}{3})^x$ убывает, стремясь к нулю. Функция $y = \cos x$ колеблется между $-1$ и $1$. В каждом интервале вида $(2\pi k - \frac{\pi}{2}, 2\pi k + \frac{\pi}{2})$ при $k=1, 2, 3, \ldots$, функция $\cos x$ сначала возрастает от 0 до 1 (в точке $x=2\pi k$), а затем убывает от 1 до 0. В то же время, на этих интервалах функция $(\frac{1}{3})^x$ является очень маленькой положительной величиной. Поскольку на каждом таком интервале косинусоида "поднимается" от 0 до 1 (значение, которое заведомо больше, чем $(\frac{1}{3})^x$ для больших $x$) и "опускается" обратно до 0, она пересекает график убывающей функции $(\frac{1}{3})^x$ дважды. Так как таких интервалов бесконечно много, то и число точек пересечения (корней) бесконечно.

Ответ: бесконечное множество корней.

3)

Для определения количества корней уравнения $(\frac{1}{3})^x = 4 - \frac{3}{x}$ построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = 4 - \frac{3}{x}$.

График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — монотонно убывающая показательная кривая, проходящая через точку $(0, 1)$.

График функции $y = 4 - \frac{3}{x}$ — это гипербола $y = -\frac{3}{x}$, смещенная на 4 единицы вверх. Она имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ и горизонтальную асимптоту $y = 4$. Функция монотонно возрастает на каждом из интервалов $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

Рассмотрим задачу на двух интервалах: $x > 0$ и $x < 0$.

При $x > 0$:
Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ монотонно убывает от 1 (при $x \to 0^+$) до 0 (при $x \to +\infty$).
Функция $y = 4 - \frac{3}{x}$ монотонно возрастает от $-\infty$ (при $x \to 0^+$) до 4 (при $x \to +\infty$).
Так как одна функция убывает, а другая возрастает, они могут пересечься не более одного раза. Проверим, есть ли пересечение. При $x=1$, $y=(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$ и $y=4-3=1$. Здесь $(\frac{1}{3})^x < 4 - \frac{3}{x}$. При $x=\frac{3}{4}$, $y=(\frac{1}{3})^{3/4} > 0$ и $y=4-\frac{3}{3/4}=0$. Здесь $(\frac{1}{3})^x > 4 - \frac{3}{x}$. Так как функции непрерывны на $(\frac{3}{4}, 1)$ и их соотношение меняется, они пересекаются ровно один раз на интервале $x > 0$.

При $x < 0$:
Функция $y = (\frac{1}{3})^x$ монотонно убывает от $+\infty$ (при $x \to -\infty$) до 1 (при $x \to 0^-$).
Функция $y = 4 - \frac{3}{x}$ монотонно возрастает от 4 (при $x \to -\infty$) до $+\infty$ (при $x \to 0^-$).
Снова имеем пересечение монотонно убывающей и монотонно возрастающей функций, что означает не более одной точки пересечения.
Сравним значения. При $x \to -\infty$ график $y = (\frac{1}{3})^x$ уходит в $+\infty$, а график $y = 4 - \frac{3}{x}$ стремится к 4, то есть $(\frac{1}{3})^x > 4 - \frac{3}{x}$. При $x \to 0^-$ график $y = (\frac{1}{3})^x$ стремится к 1, а график $y = 4 - \frac{3}{x}$ уходит в $+\infty$, то есть $(\frac{1}{3})^x < 4 - \frac{3}{x}$. Так как функции непрерывны и их соотношение меняется, они пересекаются ровно один раз на интервале $x < 0$.

Следовательно, уравнение имеет один корень при $x > 0$ и один корень при $x < 0$, что в сумме дает два корня.

Ответ: 2 корня.

1.31. Постройте график функции:

1) $y = 2^{|x|};$

2) $y = 2^{|x|} + 1;$

3) $y = |2x - 1|;$

4) $y = |\frac{1}{2^x} - 1|.$

1) Для построения графика функции $y=2^{|x|}$ воспользуемся свойством модуля и четностью функции.
Функция является четной, так как $y(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (OY).
Построение можно выполнить в два шага:
1. Строим график функции $y=2^x$ для неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$). Это стандартная возрастающая показательная кривая, проходящая через точки (0, 1), (1, 2), (2, 4).
2. Так как функция четная, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси OY. Таким образом, мы получаем вторую ветвь графика для отрицательных значений $x$ ($x < 0$), которая проходит через точки (-1, 2), (-2, 4) и так далее. Она является графиком функции $y=2^{-x}$ при $x<0$.
В результате получаем график, состоящий из двух ветвей, выходящих из общей точки (0, 1), которая является точкой минимума функции.
Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. При $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y=2^x$, а при $x < 0$ — с графиком $y=2^{-x}$. Точка (0, 1) является точкой минимума.

2) График функции $y=2^{|x|} + 1$ получается из графика функции $y=2^{|x|}$, построенного в предыдущем пункте, с помощью геометрического преобразования.
Прибавление константы к значению функции соответствует сдвигу (параллельному переносу) графика вдоль оси ординат (OY). В данном случае, мы должны сдвинуть график функции $y=2^{|x|}$ на 1 единицу вверх.
Каждая точка $(x, y)$ на графике $y=2^{|x|}$ переходит в точку $(x, y+1)$ на новом графике.

• Точка минимума (0, 1) перемещается в точку (0, 2).
• Точки (1, 2) и (-1, 2) перемещаются в точки (1, 3) и (-1, 3).
• Точки (2, 4) и (-2, 4) перемещаются в точки (2, 5) и (-2, 5).

Форма графика сохраняется, он по-прежнему симметричен относительно оси OY.
Ответ: График функции $y = 2^{|x|} + 1$ — это график функции $y = 2^{|x|}$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Точка минимума находится в (0, 2).

3) Для построения графика функции $y=|2^x - 1|$ выполним следующие шаги:
1. Сначала построим график вспомогательной функции $y_1 = 2^x - 1$. Этот график получается сдвигом графика показательной функции $y=2^x$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Он проходит через начало координат (0, 0), так как $2^0 - 1 = 0$. Горизонтальная асимптота графика — прямая $y=-1$.
2. Теперь применим операцию взятия модуля: $y = |y_1| = |2^x - 1|$. Это преобразование оставляет без изменений ту часть графика, где $y_1 \ge 0$, и симметрично отражает относительно оси абсцисс (OX) ту часть, где $y_1 < 0$.

• $y_1 = 2^x - 1 \ge 0$ при $2^x \ge 1$, то есть при $x \ge 0$. Эту часть графика оставляем как есть.
• $y_1 = 2^x - 1 < 0$ при $2^x < 1$, то есть при $x < 0$. Эту часть графика (которая лежит ниже оси OX) отражаем симметрично вверх.

В результате, часть графика $y=2^x-1$ для $x<0$ отражается относительно оси OX. Горизонтальная асимптота $y=-1$ также отражается и становится асимптотой $y=1$ (при $x \to -\infty$).
Ответ: График получается из графика $y=2^x-1$ отражением его отрицательной части ($x<0$) относительно оси OX. График проходит через точку (0, 0) и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to -\infty$.

4) Для построения графика функции $y=|\frac{1}{2^x} - 1|$ сначала упростим выражение: $y = |2^{-x} - 1|$. Построение аналогично предыдущему пункту.
1. Сначала строим график вспомогательной функции $y_1 = 2^{-x} - 1$. График функции $y=2^{-x}$ является зеркальным отражением графика $y=2^x$ относительно оси OY (это убывающая показательная функция). График $y_1 = 2^{-x} - 1$ получается сдвигом $y=2^{-x}$ на 1 единицу вниз. Он также проходит через начало координат (0, 0) и имеет горизонтальную асимптоту $y=-1$ (при $x \to +\infty$).
2. Применяем операцию взятия модуля: $y = |y_1| = |2^{-x} - 1|$.

• $y_1 = 2^{-x} - 1 \ge 0$ при $2^{-x} \ge 1$, то есть при $x \le 0$. Эту часть графика оставляем без изменений.
• $y_1 = 2^{-x} - 1 < 0$ при $2^{-x} < 1$, то есть при $x > 0$. Эту часть графика, лежащую под осью OX, отражаем симметрично относительно оси OX.

Горизонтальная асимптота $y=-1$ (при $x \to +\infty$) отражается в асимптоту $y=1$.
Стоит отметить, что функция $y=|2^{-x} - 1|$ является зеркальным отражением функции $y=|2^x - 1|$ из пункта 3) относительно оси OY.
Ответ: График получается из графика $y=2^{-x}-1$ отражением его отрицательной части ($x>0$) относительно оси OX. График проходит через точку (0, 0) и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to +\infty$.

1.32. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3^{|x|}}$;

2) $y = 3^{|x|} - 1$;

3) $y = |3^x - 1|$.

1) $y = \frac{1}{3^{|x|}}$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графиков.

Сначала заметим, что функцию можно переписать в виде $y = (\frac{1}{3})^{|x|}$.

Эта функция является четной, так как $y(-x) = (\frac{1}{3})^{|-x|} = (\frac{1}{3})^{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Поэтому мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.

1. Построение графика для $x \ge 0$.
   При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (\frac{1}{3})^x$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$, где $0 < a < 1$. График такой функции является убывающей кривой.

   • Найдем несколько ключевых точек:

     • При $x = 0$, $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Точка $(0, 1)$.

     • При $x = 1$, $y = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$. Точка $(1, \frac{1}{3})$.

     • При $x = 2$, $y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$. Точка $(2, \frac{1}{9})$.

   • При $x \to +\infty$, $y \to 0$. Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

2. Построение полного графика.
   Так как функция четная, отражаем построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy. Ветвь графика для $x < 0$ будет зеркальным отображением ветви для $x > 0$. Например, точка $(1, \frac{1}{3})$ отразится в точку $(-1, \frac{1}{3})$. График для $x < 0$ описывается функцией $y = (\frac{1}{3})^{-x} = 3^x$, что является возрастающей кривой.

Итоговый график имеет "шапку" или "пик" в точке $(0, 1)$, симметричен относительно оси Oy и приближается к оси Ox при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Для его построения сначала строится график убывающей показательной функции $y = (\frac{1}{3})^x$ для $x \ge 0$, который проходит через точку $(0,1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Затем эта часть графика отражается симметрично относительно оси Oy для получения части графика при $x < 0$.

2) $y = 3^{|x|} - 1$

Данный график также можно построить с помощью последовательных преобразований.

Заметим, что эта функция также является четной, так как $y(-x) = 3^{|-x|} - 1 = 3^{|x|} - 1 = y(x)$. График будет симметричен относительно оси Oy.

Можно использовать следующий алгоритм:

1. Строим базовый график $y = 3^x$.
   Это стандартная возрастающая показательная функция. Она проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$.

2. Преобразуем в $y = 3^{|x|}$.
   Это преобразование вида $f(x) \to f(|x|)$. Для этого часть графика $y=3^x$ при $x \ge 0$ оставляем без изменений, а часть при $x < 0$ отбрасываем и заменяем ее симметричным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси Oy. Получаем V-образный график с криволинейными ветвями и "вершиной" в точке $(0, 1)$.

3. Преобразуем в $y = 3^{|x|} - 1$.
   Это сдвиг всего графика $y=3^{|x|}$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. "Вершина" из точки $(0, 1)$ переместится в точку $(0, 0)$. Все остальные точки также сместятся на 1 вниз. Например, точки $(1, 3)$ и $(-1, 3)$ на графике $y=3^{|x|}$ переместятся в точки $(1, 2)$ и $(-1, 2)$ соответственно.

Итоговый график симметричен относительно оси Oy, проходит через начало координат $(0, 0)$ и обе его ветви уходят вверх при $x \to \pm\infty$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он получается из графика функции $y=3^x$ путем следующих преобразований: сначала часть графика для $x \ge 0$ отражается симметрично относительно оси Oy, а затем полученный график сдвигается на 1 единицу вниз. График имеет минимум в точке $(0,0)$.

3) $y = |3^x - 1|$

Для построения этого графика воспользуемся преобразованием $y = |f(x)|$.

Алгоритм построения следующий:

1. Сначала строим график функции $y = 3^x - 1$.
   Этот график получается из графика $y = 3^x$ сдвигом на 1 единицу вниз по оси Oy.

   • Горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=-1$.

   • Точка пересечения с осью Oy смещается из $(0, 1)$ в $(0, 0)$.

   • График пересекает ось Ox в точке, где $3^x - 1 = 0$, то есть $3^x = 1$, что дает $x=0$.

   • При $x > 0$, $y > 0$. При $x < 0$, $y < 0$.

2. Применяем операцию модуля: $y = |3^x - 1|$.
   Правило преобразования $y=|f(x)|$ гласит:

   • Часть графика $y=f(x)$, которая находится выше или на оси Ox ($y \ge 0$), остается без изменений.

   • Часть графика, которая находится ниже оси Ox ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.

   В нашем случае:

   • Для $x \ge 0$, график $y = 3^x - 1$ находится на или выше оси Ox. Эту часть оставляем как есть. Это возрастающая кривая, выходящая из точки $(0,0)$.

   • Для $x < 0$, график $y = 3^x - 1$ находится ниже оси Ox. Эту часть отражаем симметрично относительно оси Ox. Горизонтальная асимптота $y=-1$ отразится в асимптоту $y=1$. Таким образом, при $x \to -\infty$, график будет приближаться к прямой $y=1$ сверху.

Итоговый график состоит из двух "ветвей", сходящихся в точке $(0, 0)$. Правая ветвь ($x>0$) уходит вверх, а левая ($x<0$) приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$.

Ответ: График строится из графика функции $y = 3^x - 1$. Часть графика $y = 3^x - 1$, лежащая выше или на оси Ox (при $x \ge 0$), остается без изменений. Часть графика, лежащая ниже оси Ox (при $x < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. В результате, график проходит через начало координат $(0,0)$, при $x > 0$ возрастает, а при $x < 0$ убывает, асимптотически приближаясь к прямой $y=1$.

1.33. Постройте график функции $y = \sqrt{2^{\cos x} - 2}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2\cos x - 2}$ необходимо сначала определить ее область определения.

Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Это приводит к следующему неравенству: $2\cos x - 2 \ge 0$

Решим данное неравенство относительно $\cos x$: $2\cos x \ge 2$ $\cos x \ge 1$

Известно, что область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, для любого действительного значения $x$ справедливо двойное неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, неравенство $\cos x \ge 1$ выполняется только в том случае, когда $\cos x$ принимает свое максимальное значение, равное 1. $\cos x = 1$

Уравнение $\cos x = 1$ имеет решения, когда аргумент $x$ равен $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, область определения функции — это не сплошной интервал, а дискретный набор точек: $x \in \{ \dots, -4\pi, -2\pi, 0, 2\pi, 4\pi, \dots \}$.

Теперь вычислим значение функции $y$ в этих точках. Так как во всех этих точках $\cos x = 1$, подставляем это значение в исходную формулу: $y = \sqrt{2 \cdot 1 - 2} = \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0$.

Мы получили, что для всех допустимых значений $x$ значение функции $y$ равно 0.

Следовательно, график данной функции представляет собой набор изолированных точек, которые лежат на оси абсцисс (оси Ox). Координаты этих точек имеют вид $(2\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Примерами таких точек являются: $(0, 0)$, $(2\pi, 0)$, $(-2\pi, 0)$, $(4\pi, 0)$, и так далее.

Ответ: График функции $y = \sqrt{2\cos x - 2}$ — это множество изолированных точек, лежащих на оси Ox и имеющих координаты $(2\pi k, 0)$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

1.34. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = \left(\frac{1}{4}\right)^{\sin x}$

2) $y = 3^{|\sin x|} - 2$

1) $y = (\frac{1}{4})^{\sin x}$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения данной функции, мы должны проанализировать ее составляющие: показательную функцию и функцию синуса в показателе.

Область значений функции синуса, $t = \sin x$, это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $-1 \le \sin x \le 1$.

Теперь рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{1}{4})^t$. Основание степени $a = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Это означает, что показательная функция является убывающей. Для убывающей функции большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, и наоборот.

Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $\sin x$, а наименьшее значение функции $y$ — при наибольшем значении показателя $\sin x$.

Наибольшее значение функции достигается, когда $\sin x = -1$:

$y_{наиб} = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$

Наименьшее значение функции достигается, когда $\sin x = 1$:

$y_{наим} = (\frac{1}{4})^{1} = \frac{1}{4}$

Ответ: наибольшее значение 4, наименьшее значение $\frac{1}{4}$.

2) $y = 3^{|\sin x|} - 2$

Проанализируем данную функцию. Она является композицией нескольких функций.

Сначала рассмотрим показатель степени $t = |\sin x|$. Мы знаем, что область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. При взятии модуля от значений на этом отрезке, мы получаем новую область значений: $[0, 1]$. Таким образом, $0 \le |\sin x| \le 1$.

Теперь рассмотрим функцию $y = 3^t - 2$. Основание степени $a = 3$ больше 1 ($3 > 1$), следовательно, функция $y = 3^t$ является возрастающей. Вычитание константы 2 не меняет характер монотонности. Таким образом, функция $y = 3^t - 2$ также является возрастающей.

Для возрастающей функции большему значению аргумента соответствует большее значение функции, а меньшему — меньшее.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $|\sin x|$, а наибольшее значение функции $y$ — при наибольшем значении показателя $|\sin x|$.

Наименьшее значение функции достигается, когда $|\sin x| = 0$:

$y_{наим} = 3^0 - 2 = 1 - 2 = -1$

Наибольшее значение функции достигается, когда $|\sin x| = 1$:

$y_{наиб} = 3^1 - 2 = 3 - 2 = 1$

Ответ: наибольшее значение 1, наименьшее значение -1.

1.35. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 6^{\cos x};$

2) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} + 5.$

1) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 6^{\cos x}$, нужно проанализировать показательную функцию и ее показатель.

Основание степени равно 6, что больше 1. Это означает, что показательная функция $f(t) = 6^t$ является возрастающей. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наибольшем значении показателя $\cos x$, а наименьшее значение $y$ — при наименьшем значении показателя $\cos x$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Таким образом:

• Наибольшее значение показателя $\cos x$ равно 1.
  $y_{наиб} = 6^1 = 6$.
• Наименьшее значение показателя $\cos x$ равно -1.
  $y_{наим} = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно $\frac{1}{6}$.

2) Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} + 5$.

Основание степени равно $\frac{1}{5}$, что находится в интервале $(0, 1)$. Это означает, что показательная функция $f(t) = \left(\frac{1}{5}\right)^t$ является убывающей. Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении показателя $|\cos x|$, а наименьшее значение $y$ — при наибольшем значении показателя $|\cos x|$.

Сначала найдем область значений показателя $|\cos x|$. Мы знаем, что $-1 \le \cos x \le 1$. При взятии модуля, область значений сужается до $0 \le |\cos x| \le 1$.

Таким образом:

• Наибольшее значение функции $y$ достигается, когда показатель $|\cos x|$ минимален, то есть $|\cos x| = 0$.
  $y_{наиб} = \left(\frac{1}{5}\right)^0 + 5 = 1 + 5 = 6$.
• Наименьшее значение функции $y$ достигается, когда показатель $|\cos x|$ максимален, то есть $|\cos x| = 1$.
  $y_{наим} = \left(\frac{1}{5}\right)^1 + 5 = \frac{1}{5} + 5 = 5\frac{1}{5} = 5.2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 6, наименьшее значение равно $5.2$.