Страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.4. Какая из данных функций является показательной:

1) $y = x^6$;

2) $y = \sqrt[6]{x}$;

3) $y = 6^x$;

4) $y = 6?$

Показательной функцией называется функция вида $y = a^x$, где основание $a$ является постоянным положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$), а показатель степени $x$ — это переменная. Проанализируем каждый из предложенных вариантов на соответствие этому определению.

1) $y = x^6$: Это степенная функция. В ней переменная $x$ находится в основании степени, а показатель степени является константой (числом 6). В показательной функции, наоборот, основание является константой, а показатель — переменной. Следовательно, данная функция не является показательной.

2) $y = \sqrt[6]{x}$: Эту функцию можно представить в виде степенной функции $y = x^{1/6}$. Как и в предыдущем варианте, переменная $x$ является основанием степени, а показатель ($1/6$) — константой. Это не показательная функция.

3) $y = 6^x$: Эта функция полностью соответствует определению показательной функции вида $y = a^x$. Здесь основание $a = 6$ — это постоянное число, удовлетворяющее условиям $6 > 0$ и $6 \neq 1$, а показатель степени $x$ — это переменная. Следовательно, это показательная функция.

4) $y = 6$: Это постоянная функция, или константа. Её значение всегда равно 6, независимо от значения $x$. В этой функции переменная не стоит в показателе степени, поэтому она не является показательной.

Таким образом, единственная функция из представленных, которая является показательной, — это $y = 6^x$.

Ответ: 3

1.5. На основании какого свойства показательной функции можно утверждать, что:

1) $(\frac{7}{9})^{3,2} < (\frac{7}{9})^{2,9};$

2) $(\frac{4}{3})^{1,8} > (\frac{4}{3})^{1,6}?$

1) Утверждение $(\frac{7}{9})^{3.2} < (\frac{7}{9})^{2.9}$ основано на свойстве монотонности показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание степени $a = \frac{7}{9}$. Так как числитель меньше знаменателя ($7 < 9$), то основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$.

Показательная функция $y = a^x$ при $0 < a < 1$ является строго убывающей. Это означает, что для любых показателей $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$. Иными словами, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели в заданном неравенстве: $3.2 > 2.9$. Поскольку основание $a = \frac{7}{9} < 1$, то знак неравенства между значениями функции меняется на противоположный: $(\frac{7}{9})^{3.2} < (\frac{7}{9})^{2.9}$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве убывания показательной функции $y = a^x$ при основании $0 < a < 1$.

2) Утверждение $(\frac{4}{3})^{1.8} > (\frac{4}{3})^{1.6}$ также основано на свойстве монотонности показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание степени $a = \frac{4}{3}$. Так как числитель больше знаменателя ($4 > 3$), то основание удовлетворяет условию $a > 1$.

Показательная функция $y = a^x$ при $a > 1$ является строго возрастающей. Это означает, что для любых показателей $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$. Иными словами, большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.

Сравним показатели в заданном неравенстве: $1.8 > 1.6$. Поскольку основание $a = \frac{4}{3} > 1$, то знак неравенства между значениями функции сохраняется: $(\frac{4}{3})^{1.8} > (\frac{4}{3})^{1.6}$.

Ответ: Утверждение основано на свойстве возрастания показательной функции $y = a^x$ при основании $a > 1$.

1.6. Укажите, какие из данных функций являются возрастающими, а какие — убывающими:

1) $y = 10^x$;

2) $y = \left(\frac{5}{9}\right)^x$;

3) $y = 2^{-x}$;

4) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x}$;

5) $y = 2^x \cdot 3^x$;

6) $y = 12^x \cdot \left(\frac{1}{18}\right)^x$.

Для определения, является ли показательная функция возрастающей или убывающей, необходимо привести ее к стандартному виду $y = a^x$ и проанализировать значение ее основания $a$.

• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.

1) $y = 10^x$

Данная функция является показательной функцией вида $y = a^x$ с основанием $a = 10$. Поскольку основание $a = 10 > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

2) $y = (\frac{5}{9})^x$

Это показательная функция вида $y = a^x$, где основание $a = \frac{5}{9}$. Поскольку $0 < a = \frac{5}{9} < 1$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

3) $y = 2^{-x}$

Преобразуем данную функцию к стандартному виду $y = a^x$, используя свойство степени $b^{-c} = (\frac{1}{b})^c$:
$y = 2^{-x} = (2^{-1})^x = (\frac{1}{2})^x$.
Получили показательную функцию с основанием $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a = \frac{1}{2} < 1$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

4) $y = (\frac{1}{5})^{-x}$

Преобразуем функцию к виду $y = a^x$, используя свойство степени $(\frac{1}{b})^{-c} = b^c$:
$y = (\frac{1}{5})^{-x} = 5^x$.
Получили показательную функцию с основанием $a = 5$. Поскольку $a = 5 > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

5) $y = 2^x \cdot 3^x$

Преобразуем функцию к виду $y = a^x$, используя свойство произведения степеней с одинаковым показателем $b^c \cdot d^c = (b \cdot d)^c$:
$y = 2^x \cdot 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$.
Получили показательную функцию с основанием $a = 6$. Так как $a = 6 > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

6) $y = 12^x \cdot (\frac{1}{18})^x$

Преобразуем функцию к виду $y = a^x$, используя свойство $b^c \cdot d^c = (b \cdot d)^c$:
$y = 12^x \cdot (\frac{1}{18})^x = (12 \cdot \frac{1}{18})^x = (\frac{12}{18})^x$.
Сократим дробь в основании: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.
Функция принимает вид $y = (\frac{2}{3})^x$. Основание $a = \frac{2}{3}$. Поскольку $0 < a = \frac{2}{3} < 1$, функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

1.7. Постройте график функции $y = 3^x$. В каких пределах изменяется значение функции, если $x$ возрастает от $-1$ до $3$ включительно?

Постройте график функции $y = 3^x$

Функция $y = 3^x$ — это показательная функция. Поскольку основание $a=3$ больше 1, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Для построения графика определим его ключевые свойства и найдем координаты нескольких точек:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Пересечение с осями: График пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, так как $y(0) = 3^0 = 1$. Пересечений с осью $Ox$ нет.
• Асимптота: Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.

Составим таблицу значений:

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавной линией с учетом свойств функции, мы получим эскиз графика. Это кривая, которая проходит из левой нижней части координатной плоскости (приближаясь к оси $Ox$) через точку $(0;1)$ и уходит круто вверх в правую верхнюю часть.

Ответ: График функции $y=3^x$ является показательной кривой, которая монотонно возрастает на всей области определения, проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Для его построения можно использовать точки из приведенной таблицы.

В каких пределах изменяется значение функции, если x возрастает от -1 до 3 включительно?

Нам необходимо найти множество значений, которые принимает функция $y = 3^x$, когда аргумент $x$ изменяется на отрезке $[-1; 3]$.

Поскольку функция $y = 3^x$ является строго возрастающей, то наименьшее значение на отрезке она будет принимать в его начальной точке, а наибольшее — в конечной.

1. Найдем значение функции при $x = -1$ (нижняя граница):
$y(-1) = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

2. Найдем значение функции при $x = 3$ (верхняя граница):
$y(3) = 3^3 = 27$.

Таким образом, когда $x$ возрастает от $-1$ до $3$ включительно, значение функции $y$ возрастает от $\frac{1}{3}$ до $27$ включительно.

Ответ: Значение функции изменяется в пределах от $\frac{1}{3}$ до $27$, то есть $y \in \left[\frac{1}{3}; 27\right]$.

1.8. Постройте график функции $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. В каких пределах изменяется

Построение графика функции $y = (\frac{1}{3})^x$

Данная функция является показательной функцией вида $y = a^x$, где основание $a = \frac{1}{3}$.

Для построения графика проанализируем основные свойства этой функции:

• Область определения: функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Монотонность: так как основание $a = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.
• Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = (\frac{1}{3})^0 = 1$. Следовательно, график пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$.
• Асимптота: график не пересекает ось абсцисс ($Ox$), так как уравнение $(\frac{1}{3})^x = 0$ не имеет решений в действительных числах. При $x \to +\infty$, значение $y$ стремится к нулю, оставаясь положительным. Таким образом, ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика.
• Область значений: так как основание $a > 0$, функция принимает только положительные значения при любом $x$.

Составим таблицу значений для нескольких ключевых точек, чтобы построить график:

На основе этих данных и свойств функции строим её график:

Ответ: График функции $y = (\frac{1}{3})^x$ — это плавная кривая, которая убывает на всей своей области определения, проходит через точку $(0, 1)$ и асимптотически приближается к положительной части оси $Ox$ справа.

В каких пределах изменяется y

Чтобы определить пределы изменения переменной $y$, необходимо найти область значений функции $y = (\frac{1}{3})^x$.

По определению показательной функции с основанием $a > 0$ и $a \neq 1$, её значения всегда строго положительны. В нашем случае $a=\frac{1}{3} > 0$, поэтому $y > 0$ для любого действительного $x$.

Проанализируем поведение функции на бесконечности:

• Когда $x$ стремится к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), знаменатель $3^x$ в выражении $y = \frac{1}{3^x}$ неограниченно растет, поэтому вся дробь стремится к нулю: $\lim_{x\to+\infty} (\frac{1}{3})^x = 0$.
• Когда $x$ стремится к минус бесконечности ($x \to -\infty$), можно представить $x$ как $-t$, где $t \to +\infty$. Тогда $y = (\frac{1}{3})^{-t} = 3^t$. При $t \to +\infty$, значение $3^t$ неограниченно возрастает: $\lim_{x\to-\infty} (\frac{1}{3})^x = +\infty$.

Таким образом, функция может принимать любое положительное значение, но никогда не достигает нуля и не становится отрицательной. Область значений функции — это все положительные действительные числа.

Ответ: Значение $y$ изменяется в пределах от 0 до $+\infty$, не включая 0. В виде неравенства это записывается как $y > 0$, а в виде интервала — $y \in (0, +\infty)$.

1.9. Сравните с числом 1 степень:

1) $ (\\frac{1}{2})^{\\sqrt{2}} $;

2) $ (\\frac{\\pi}{3})^{\\pi} $;

3) $ 0.6^{2\\sqrt{5}} $;

4) $ (\\frac{1}{3})^{-\\sqrt{3}} $;

5) $ (\\frac{4}{5})^{\\pi} $;

6) $ (\\frac{\\pi+1}{4})^{-\\sqrt{6}} $.

1) Для сравнения выражения $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{1}{2}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции.Показатель степени $x = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то мы сравниваем значение функции в точке $\sqrt{2}$ со значением в точке 0.Поскольку $x = \sqrt{2} > 0$ и функция убывающая, то $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < (\frac{1}{2})^0$.Так как любое число в нулевой степени равно 1, то $(\frac{1}{2})^0 = 1$.Следовательно, $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < 1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^{\sqrt{2}} < 1$.

2) Для сравнения выражения $(\frac{\pi}{3})^{\pi}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{\pi}{3}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $a = \frac{\pi}{3} > \frac{3}{3} = 1$. Так как основание $a > 1$, показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции.Показатель степени $x = \pi$. Так как $\pi > 0$, то мы сравниваем значение функции в точке $\pi$ со значением в точке 0.Поскольку $x = \pi > 0$ и функция возрастающая, то $(\frac{\pi}{3})^{\pi} > (\frac{\pi}{3})^0$.Так как $(\frac{\pi}{3})^0 = 1$, то $(\frac{\pi}{3})^{\pi} > 1$.
Ответ: $(\frac{\pi}{3})^{\pi} > 1$.

3) Для сравнения выражения $0.6^{2\sqrt{5}}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = 0.6$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей.Показатель степени $x = 2\sqrt{5}$. Так как $\sqrt{5} > 0$, то и $x = 2\sqrt{5} > 0$.Поскольку $x > 0$ и функция убывающая, то $0.6^{2\sqrt{5}} < 0.6^0$.Так как $0.6^0 = 1$, то $0.6^{2\sqrt{5}} < 1$.
Ответ: $0.6^{2\sqrt{5}} < 1$.

4) Для сравнения выражения $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{1}{3}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей.Показатель степени $x = -\sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} > 0$, то $x = -\sqrt{3} < 0$.Поскольку $x < 0$ и функция убывающая, то $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}} > (\frac{1}{3})^0$.Так как $(\frac{1}{3})^0 = 1$, то $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}} > 1$.В качестве альтернативы можно преобразовать выражение: $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}} = (3^{-1})^{-\sqrt{3}} = 3^{\sqrt{3}}$. У этого выражения основание $3 > 1$ и показатель $\sqrt{3} > 0$, следовательно, оно больше 1.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{-\sqrt{3}} > 1$.

5) Для сравнения выражения $(\frac{4}{5})^{\pi}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{4}{5}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y = a^x$ является убывающей.Показатель степени $x = \pi$. Так как $x = \pi > 0$.Поскольку $x > 0$ и функция убывающая, то $(\frac{4}{5})^{\pi} < (\frac{4}{5})^0$.Так как $(\frac{4}{5})^0 = 1$, то $(\frac{4}{5})^{\pi} < 1$.
Ответ: $(\frac{4}{5})^{\pi} < 1$.

6) Для сравнения выражения $(\frac{\pi + 1}{4})^{-\sqrt{6}}$ с числом 1, проанализируем его основание и показатель.Основание степени $a = \frac{\pi + 1}{4}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $a = \frac{\pi + 1}{4} \approx \frac{3.14159 + 1}{4} = \frac{4.14159}{4} > 1$. Так как основание $a > 1$, показательная функция $y = a^x$ является возрастающей.Показатель степени $x = -\sqrt{6}$. Так как $\sqrt{6} > 0$, то $x = -\sqrt{6} < 0$.Поскольку $x < 0$ и функция возрастающая, то $(\frac{\pi + 1}{4})^{-\sqrt{6}} < (\frac{\pi + 1}{4})^0$.Так как $(\frac{\pi + 1}{4})^0 = 1$, то $(\frac{\pi + 1}{4})^{-\sqrt{6}} < 1$.
Ответ: $(\frac{\pi + 1}{4})^{-\sqrt{6}} < 1$.

1.10. Какие из данных чисел больше 1, а какие меньше 1:

1) $1,8^{\sqrt{1,8}}$

2) $(\frac{\pi}{6})^{\sqrt{10}}$

3) $7^{-\sqrt{2}}$

4) $0,3^{-\pi}$

Чтобы определить, больше или меньше 1 данное число в виде степени $a^b$, воспользуемся свойствами степенной функции $y=a^x$:

• Если основание $a > 1$, то при положительном показателе ($x > 0$) значение степени $a^x > 1$, а при отрицательном показателе ($x < 0$) значение $0 < a^x < 1$.
• Если основание находится в интервале $0 < a < 1$, то при положительном показателе ($x > 0$) значение степени $0 < a^x < 1$, а при отрицательном показателе ($x < 0$) значение $a^x > 1$.
• В обоих случаях, если показатель $x=0$, то $a^0 = 1$.

1) Рассмотрим число $1.8^{\sqrt{1.8}}$.

Основание степени $a = 1.8$. Так как $1.8 > 1$, основание больше единицы.

Показатель степени $b = \sqrt{1.8}$. Так как $1.8 > 0$, то и $\sqrt{1.8} > 0$, то есть показатель степени положительный.

Поскольку основание больше 1 и показатель степени положителен, то значение выражения больше 1.

Ответ: больше 1.

2) Рассмотрим число $(\frac{\pi}{6})^{\sqrt{10}}$.

Основание степени $a = \frac{\pi}{6}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

Так как $\pi < 6$, то дробь $\frac{\pi}{6} < 1$. Поскольку $\pi > 0$, основание $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$.

Показатель степени $b = \sqrt{10}$. Так как $10 > 0$, то $\sqrt{10} > 0$, то есть показатель степени положительный.

Поскольку основание меньше 1 (но больше 0) и показатель степени положителен, то значение выражения меньше 1.

Ответ: меньше 1.

3) Рассмотрим число $7^{-\sqrt{2}}$.

Основание степени $a = 7$. Так как $7 > 1$, основание больше единицы.

Показатель степени $b = -\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $-\sqrt{2} < 0$, то есть показатель степени отрицательный.

Поскольку основание больше 1 и показатель степени отрицателен, то значение выражения меньше 1.

Это также можно увидеть, преобразовав выражение: $7^{-\sqrt{2}} = \frac{1}{7^{\sqrt{2}}}$. В знаменателе стоит число $7^{\sqrt{2}}$, которое больше 1 (основание $7 > 1$, показатель $\sqrt{2} > 0$). Следовательно, вся дробь меньше 1.

Ответ: меньше 1.

4) Рассмотрим число $0.3^{-\pi}$.

Основание степени $a = 0.3$. Так как $0 < 0.3 < 1$, основание меньше единицы (но больше 0).

Показатель степени $b = -\pi$. Так как $\pi \approx 3.14159 > 0$, то $-\pi < 0$, то есть показатель степени отрицательный.

Поскольку основание меньше 1 (но больше 0) и показатель степени отрицателен, то значение выражения будет больше 1.

Это также можно увидеть, преобразовав выражение: $0.3^{-\pi} = (\frac{3}{10})^{-\pi} = (\frac{10}{3})^{\pi}$. В полученном выражении основание $\frac{10}{3} > 1$ и показатель $\pi > 0$, следовательно, результат больше 1.

Ответ: больше 1.

1.11. Сравните:

1) $5^{3,4}$ и $5^{3,26}$;

2) $0,3^{0,4}$ и $0,3^{0,3}$;

3) 1 и $\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{1}{3}}>;

4) $0,17^{-3}$ и 1;

5) $(\sqrt{2})^{\sqrt{6}}$ и $(\sqrt{2})^{\sqrt{7}};

6) $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2,7}$ и $\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-2,8}.

Для сравнения степеней используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, функция возрастает. Это значит, что если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} > a^{x_2}$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает. Это значит, что если $x_1 > x_2$, то $a^{x_1} < a^{x_2}$.

1) Сравниваем числа $5^{3,4}$ и $5^{3,26}$. Основание степени $a=5$. Так как $a > 1$, показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $3,4 > 3,26$. Поскольку функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени. Следовательно, $5^{3,4} > 5^{3,26}$.
Ответ: $5^{3,4} > 5^{3,26}$.

2) Сравниваем числа $0,3^{0,4}$ и $0,3^{0,3}$. Основание степени $a=0,3$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=0,3^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $0,4 > 0,3$. Поскольку функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение степени. Следовательно, $0,3^{0,4} < 0,3^{0,3}$.
Ответ: $0,3^{0,4} < 0,3^{0,3}$.

3) Сравниваем $1$ и $(\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}}$. Представим $1$ как степень с тем же основанием: $1 = (\frac{5}{4})^0$. Основание степени $a = \frac{5}{4} = 1,25$. Так как $a > 1$, показательная функция $y=(\frac{5}{4})^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\frac{1}{3} > 0$. Так как функция возрастающая, большему показателю соответствует большее значение степени. Значит, $(\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}} > (\frac{5}{4})^0$.
Ответ: $1 < (\frac{5}{4})^{\frac{1}{3}}$.

4) Сравниваем $0,17^{-3}$ и $1$. Представим $1$ как $0,17^0$. Основание степени $a = 0,17$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция $y=0,17^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-3 < 0$. Поскольку функция убывающая, меньшему показателю соответствует большее значение степени. Следовательно, $0,17^{-3} > 0,17^0$.
Ответ: $0,17^{-3} > 1$.

5) Сравниваем $(\sqrt{2})^{\sqrt{6}}$ и $(\sqrt{2})^{\sqrt{7}}$. Основание степени $a = \sqrt{2} \approx 1,414$. Так как $a > 1$, показательная функция $y=(\sqrt{2})^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{6}$ и $\sqrt{7}$. Поскольку $6 < 7$, то и $\sqrt{6} < \sqrt{7}$. Так как функция возрастающая, меньшему показателю соответствует меньшее значение степени. Следовательно, $(\sqrt{2})^{\sqrt{6}} < (\sqrt{2})^{\sqrt{7}}$.
Ответ: $(\sqrt{2})^{\sqrt{6}} < (\sqrt{2})^{\sqrt{7}}$.

6) Сравниваем $(\frac{\pi}{4})^{-2,7}$ и $(\frac{\pi}{4})^{-2,8}$. Основание степени $a = \frac{\pi}{4}$. Так как $\pi \approx 3,14$, то $a \approx \frac{3,14}{4} < 1$. Поскольку $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{\pi}{4})^x$ является убывающей. Сравним показатели степеней: $-2,7$ и $-2,8$. Так как $-2,7 > -2,8$, а функция убывающая, большему показателю соответствует меньшее значение степени. Следовательно, $(\frac{\pi}{4})^{-2,7} < (\frac{\pi}{4})^{-2,8}$.
Ответ: $(\frac{\pi}{4})^{-2,7} < (\frac{\pi}{4})^{-2,8}$.

1.12. Сравните с числом 1 значение выражения:

1) $(\frac{4}{3})^{\frac{2}{3}} $;

2) $(\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} $;

3) $(\frac{6}{7})^{-\frac{1}{2}} $;

4) $(\frac{7}{6})^{-\frac{1}{2}} $;

5) $0,62^{-0,4} $;

6) $3,14^{-0,4} $.

Для сравнения значения выражения $a^x$ с числом 1, используются следующие правила:

• Если основание $a > 1$, то:
  • при положительном показателе $x > 0$ значение выражения $a^x > 1$;
  • при отрицательном показателе $x < 0$ значение выражения $a^x < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, то:
  • при положительном показателе $x > 0$ значение выражения $a^x < 1$;
  • при отрицательном показателе $x < 0$ значение выражения $a^x > 1$.
• Если показатель $x=0$, то $a^0=1$ для любого $a \ne 0$.

1) $(\frac{4}{3})^{\frac{2}{3}}$

Основание степени $a = \frac{4}{3}$. Так как $4 > 3$, то основание $a > 1$.

Показатель степени $x = \frac{2}{3}$ является положительным числом, $x > 0$.

Поскольку основание больше 1, а показатель степени положительный, значение выражения будет больше 1.

Ответ: значение выражения больше 1.

2) $(\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}$

Основание степени $a = \frac{3}{4}$. Так как $3 < 4$, то основание $0 < a < 1$.

Показатель степени $x = \frac{2}{3}$ является положительным числом, $x > 0$.

Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени положительный, значение выражения будет меньше 1.

Ответ: значение выражения меньше 1.

3) $(\frac{6}{7})^{-\frac{1}{2}}$

Основание степени $a = \frac{6}{7}$. Так как $6 < 7$, то основание $0 < a < 1$.

Показатель степени $x = -\frac{1}{2}$ является отрицательным числом, $x < 0$.

Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени отрицательный, значение выражения будет больше 1. Также можно преобразовать выражение: $(\frac{6}{7})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{7}{6})^{\frac{1}{2}}$. Новое основание $\frac{7}{6} > 1$, а показатель $\frac{1}{2} > 0$, что также доказывает, что результат больше 1.

Ответ: значение выражения больше 1.

4) $(\frac{7}{6})^{-\frac{1}{2}}$

Основание степени $a = \frac{7}{6}$. Так как $7 > 6$, то основание $a > 1$.

Показатель степени $x = -\frac{1}{2}$ является отрицательным числом, $x < 0$.

Поскольку основание больше 1, а показатель степени отрицательный, значение выражения будет меньше 1. Также можно преобразовать выражение: $(\frac{7}{6})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{6}{7})^{\frac{1}{2}}$. Новое основание $\frac{6}{7} < 1$, а показатель $\frac{1}{2} > 0$, что также доказывает, что результат меньше 1.

Ответ: значение выражения меньше 1.

5) $0,62^{-0,4}$

Основание степени $a = 0,62$. Так как $0 < 0,62 < 1$, то основание $0 < a < 1$.

Показатель степени $x = -0,4$ является отрицательным числом, $x < 0$.

Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени отрицательный, значение выражения будет больше 1.

Ответ: значение выражения больше 1.

6) $3,14^{-0,4}$

Основание степени $a = 3,14$. Основание $a > 1$.

Показатель степени $x = -0,4$ является отрицательным числом, $x < 0$.

Поскольку основание больше 1, а показатель степени отрицательный, значение выражения будет меньше 1.

Ответ: значение выражения меньше 1.