Номер 1.10, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.10, страница 11.

1.10. Какие из данных чисел больше 1, а какие меньше 1:

1) $1,8^{\sqrt{1,8}}$

2) $(\frac{\pi}{6})^{\sqrt{10}}$

3) $7^{-\sqrt{2}}$

4) $0,3^{-\pi}$

Чтобы определить, больше или меньше 1 данное число в виде степени $a^b$, воспользуемся свойствами степенной функции $y=a^x$:

• Если основание $a > 1$, то при положительном показателе ($x > 0$) значение степени $a^x > 1$, а при отрицательном показателе ($x < 0$) значение $0 < a^x < 1$.
• Если основание находится в интервале $0 < a < 1$, то при положительном показателе ($x > 0$) значение степени $0 < a^x < 1$, а при отрицательном показателе ($x < 0$) значение $a^x > 1$.
• В обоих случаях, если показатель $x=0$, то $a^0 = 1$.

1) Рассмотрим число $1.8^{\sqrt{1.8}}$.

Основание степени $a = 1.8$. Так как $1.8 > 1$, основание больше единицы.

Показатель степени $b = \sqrt{1.8}$. Так как $1.8 > 0$, то и $\sqrt{1.8} > 0$, то есть показатель степени положительный.

Поскольку основание больше 1 и показатель степени положителен, то значение выражения больше 1.

Ответ: больше 1.

2) Рассмотрим число $(\frac{\pi}{6})^{\sqrt{10}}$.

Основание степени $a = \frac{\pi}{6}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

Так как $\pi < 6$, то дробь $\frac{\pi}{6} < 1$. Поскольку $\pi > 0$, основание $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$.

Показатель степени $b = \sqrt{10}$. Так как $10 > 0$, то $\sqrt{10} > 0$, то есть показатель степени положительный.

Поскольку основание меньше 1 (но больше 0) и показатель степени положителен, то значение выражения меньше 1.

Ответ: меньше 1.

3) Рассмотрим число $7^{-\sqrt{2}}$.

Основание степени $a = 7$. Так как $7 > 1$, основание больше единицы.

Показатель степени $b = -\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $-\sqrt{2} < 0$, то есть показатель степени отрицательный.

Поскольку основание больше 1 и показатель степени отрицателен, то значение выражения меньше 1.

Это также можно увидеть, преобразовав выражение: $7^{-\sqrt{2}} = \frac{1}{7^{\sqrt{2}}}$. В знаменателе стоит число $7^{\sqrt{2}}$, которое больше 1 (основание $7 > 1$, показатель $\sqrt{2} > 0$). Следовательно, вся дробь меньше 1.

Ответ: меньше 1.

4) Рассмотрим число $0.3^{-\pi}$.

Основание степени $a = 0.3$. Так как $0 < 0.3 < 1$, основание меньше единицы (но больше 0).

Показатель степени $b = -\pi$. Так как $\pi \approx 3.14159 > 0$, то $-\pi < 0$, то есть показатель степени отрицательный.

Поскольку основание меньше 1 (но больше 0) и показатель степени отрицателен, то значение выражения будет больше 1.

Это также можно увидеть, преобразовав выражение: $0.3^{-\pi} = (\frac{3}{10})^{-\pi} = (\frac{10}{3})^{\pi}$. В полученном выражении основание $\frac{10}{3} > 1$ и показатель $\pi > 0$, следовательно, результат больше 1.

Ответ: больше 1.