Номер 1.14, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.14, страница 12.

1.14. Сравните числа m и n, если:

1) $0.8^m < 0.8^n$;

2) $3.2^m > 3.2^n$;

3) $(\frac{2}{3})^m > (\frac{2}{3})^n$;

4) $(1\frac{4}{7})^m < (1\frac{4}{7})^n$.

Для решения этих задач используется свойство монотонности показательной функции $y = a^x$:

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это значит, что если $a^{x_1} < a^{x_2}$, то $x_1 < x_2$. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется.
• Если $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это значит, что если $a^{x_1} < a^{x_2}$, то $x_1 > x_2$. Знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный.

1) $0,8^m < 0,8^n$

Основание степени $a = 0,8$. Так как $0 < 0,8 < 1$, показательная функция $y = 0,8^x$ является убывающей. Следовательно, меньшему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому из неравенства $0,8^m < 0,8^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

2) $3,2^m > 3,2^n$

Основание степени $a = 3,2$. Так как $3,2 > 1$, показательная функция $y = 3,2^x$ является возрастающей. Следовательно, большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому из неравенства $3,2^m > 3,2^n$ следует, что $m > n$.

Ответ: $m > n$.

3) $(\frac{2}{3})^m > (\frac{2}{3})^n$

Основание степени $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция $y = (\frac{2}{3})^x$ является убывающей. Следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому из неравенства $(\frac{2}{3})^m > (\frac{2}{3})^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.

4) $(1\frac{4}{7})^m < (1\frac{4}{7})^n$

Основание степени $a = 1\frac{4}{7}$. Так как $1\frac{4}{7} > 1$, показательная функция $y = (1\frac{4}{7})^x$ является возрастающей. Следовательно, меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому из неравенства $(1\frac{4}{7})^m < (1\frac{4}{7})^n$ следует, что $m < n$.

Ответ: $m < n$.