Номер 1.12, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 1. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Упражнения - номер 1.12, страница 11.

Учебник.

1.12. Сравните с числом 1 значение выражения:

1) $(\frac{4}{3})^{\frac{2}{3}} $;

2) $(\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}} $;

3) $(\frac{6}{7})^{-\frac{1}{2}} $;

4) $(\frac{7}{6})^{-\frac{1}{2}} $;

5) $0,62^{-0,4} $;

6) $3,14^{-0,4} $.

Решение.

Решение 2.

Для сравнения значения выражения $a^x$ с числом 1, используются следующие правила:

• Если основание $a > 1$, то:
  • при положительном показателе $x > 0$ значение выражения $a^x > 1$;
  • при отрицательном показателе $x < 0$ значение выражения $a^x < 1$.
• Если основание $0 < a < 1$, то:
  • при положительном показателе $x > 0$ значение выражения $a^x < 1$;
  • при отрицательном показателе $x < 0$ значение выражения $a^x > 1$.
• Если показатель $x=0$, то $a^0=1$ для любого $a \ne 0$.

1) $(\frac{4}{3})^{\frac{2}{3}}$

Основание степени $a = \frac{4}{3}$. Так как $4 > 3$, то основание $a > 1$.

Показатель степени $x = \frac{2}{3}$ является положительным числом, $x > 0$.

Поскольку основание больше 1, а показатель степени положительный, значение выражения будет больше 1.

Ответ: значение выражения больше 1.

2) $(\frac{3}{4})^{\frac{2}{3}}$

Основание степени $a = \frac{3}{4}$. Так как $3 < 4$, то основание $0 < a < 1$.

Показатель степени $x = \frac{2}{3}$ является положительным числом, $x > 0$.

Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени положительный, значение выражения будет меньше 1.

Ответ: значение выражения меньше 1.

3) $(\frac{6}{7})^{-\frac{1}{2}}$

Основание степени $a = \frac{6}{7}$. Так как $6 < 7$, то основание $0 < a < 1$.

Показатель степени $x = -\frac{1}{2}$ является отрицательным числом, $x < 0$.

Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени отрицательный, значение выражения будет больше 1. Также можно преобразовать выражение: $(\frac{6}{7})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{7}{6})^{\frac{1}{2}}$. Новое основание $\frac{7}{6} > 1$, а показатель $\frac{1}{2} > 0$, что также доказывает, что результат больше 1.

Ответ: значение выражения больше 1.

4) $(\frac{7}{6})^{-\frac{1}{2}}$

Основание степени $a = \frac{7}{6}$. Так как $7 > 6$, то основание $a > 1$.

Показатель степени $x = -\frac{1}{2}$ является отрицательным числом, $x < 0$.

Поскольку основание больше 1, а показатель степени отрицательный, значение выражения будет меньше 1. Также можно преобразовать выражение: $(\frac{7}{6})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{6}{7})^{\frac{1}{2}}$. Новое основание $\frac{6}{7} < 1$, а показатель $\frac{1}{2} > 0$, что также доказывает, что результат меньше 1.

Ответ: значение выражения меньше 1.

5) $0,62^{-0,4}$

Основание степени $a = 0,62$. Так как $0 < 0,62 < 1$, то основание $0 < a < 1$.

Показатель степени $x = -0,4$ является отрицательным числом, $x < 0$.

Поскольку основание находится в интервале от 0 до 1, а показатель степени отрицательный, значение выражения будет больше 1.

Ответ: значение выражения больше 1.

6) $3,14^{-0,4}$

Основание степени $a = 3,14$. Основание $a > 1$.

Показатель степени $x = -0,4$ является отрицательным числом, $x < 0$.

Поскольку основание больше 1, а показатель степени отрицательный, значение выражения будет меньше 1.

Ответ: значение выражения меньше 1.