Номер 1.7, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 1. Степень с произвольным действительным показателем. Показательная функция. Глава 1. Показательная и логарифмическая функции - номер 1.7, страница 11.

1.7. Постройте график функции $y = 3^x$. В каких пределах изменяется значение функции, если $x$ возрастает от $-1$ до $3$ включительно?

Постройте график функции $y = 3^x$

Функция $y = 3^x$ — это показательная функция. Поскольку основание $a=3$ больше 1, функция является строго возрастающей на всей своей области определения.

Для построения графика определим его ключевые свойства и найдем координаты нескольких точек:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Пересечение с осями: График пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, так как $y(0) = 3^0 = 1$. Пересечений с осью $Ox$ нет.
• Асимптота: Ось $Ox$ (прямая $y=0$) является горизонтальной асимптотой для графика функции при $x \to -\infty$.

Составим таблицу значений:

$x$	-2	-1	0	1	2	3
$y=3^x$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	1	3	9	27

Нанеся эти точки на координатную плоскость и соединив их плавной линией с учетом свойств функции, мы получим эскиз графика. Это кривая, которая проходит из левой нижней части координатной плоскости (приближаясь к оси $Ox$) через точку $(0;1)$ и уходит круто вверх в правую верхнюю часть.

Ответ: График функции $y=3^x$ является показательной кривой, которая монотонно возрастает на всей области определения, проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$. Для его построения можно использовать точки из приведенной таблицы.

В каких пределах изменяется значение функции, если x возрастает от -1 до 3 включительно?

Нам необходимо найти множество значений, которые принимает функция $y = 3^x$, когда аргумент $x$ изменяется на отрезке $[-1; 3]$.

Поскольку функция $y = 3^x$ является строго возрастающей, то наименьшее значение на отрезке она будет принимать в его начальной точке, а наибольшее — в конечной.

1. Найдем значение функции при $x = -1$ (нижняя граница):
$y(-1) = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

2. Найдем значение функции при $x = 3$ (верхняя граница):
$y(3) = 3^3 = 27$.

Таким образом, когда $x$ возрастает от $-1$ до $3$ включительно, значение функции $y$ возрастает от $\frac{1}{3}$ до $27$ включительно.

Ответ: Значение функции изменяется в пределах от $\frac{1}{3}$ до $27$, то есть $y \in \left[\frac{1}{3}; 27\right]$.